regla del 70

La regla del 70 es un método abreviado de contabilidad del crecimiento de una economía que nos dice que si la tasa de crecimiento anual de una economía es g, su producción/PIB se duplicará en 70/g años.

Por ejemplo, si una economía crece un 2,3% constantemente, la regla del 70 nos dice que su producción total se duplicará en 70/2,3 años, es decir, en 30,43 años.

La fórmula para la regla del 70 se puede escribir de la siguiente manera:

$$ \text{t}=\frac{\text{70}}{\text{g}} $$

Donde t es el tiempo que tarda la economía en duplicarse y g es el crecimiento porcentual constante esperado en el futuro.

Derivación

Si una economía crece a una tasa anual constante g, el valor de su producto interno bruto (PIB) después de t años viene dado por la siguiente fórmula:

$$ \ {\rm \text{PIB}} _ \text{t}={\rm \text{PIB}} _ \text{0}\times{(\text{1}+\text{g}) }^\texto{t} $$

Ahora, dividamos ambos lados por PIB0:

$$ \frac{{\text{PIB}} _ \text{t}}{{\text{PIB}} _ \text{0}}={(\text{1}+\text{g})} ^\texto{t} $$

Si una economía se duplica durante un período, la tasa de PIBt a PIB0 sería 2. Sustituya esto en la ecuación:

$$ \text{2}={(\text{1}+\text{g})}^\text{t} $$

Tomemos el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación:

$$ \ln{\text{2}}=\ln{{(\text{1}+\text{g})}^\text{t}} $$

Logaritmo natural de 2 es aproximadamente igual a 0,70

$$ \text{0.7}=\text{t}\times\ln{(\text{1}+\text{g})} $$

Como ln (1+g) es igual a g

$$ \text{0.7}=\text{t}\times \text{g} $$

Necesitamos multiplicar y dividir por 100 para traer la expresión en porcentajes.

$$ \text{t}=\frac{\text{0.7}}{\text{g}}\times\frac{\text{100}}{\text{100}}=\frac{\text{70 }}{\texto{g}} $$

Ejemplo

El PIB de EE. UU. en 2017 fue de 18,09 billones de dólares (2016: 17,66 billones de dólares), lo que representa una tasa de crecimiento anual del 2,43 %. Utilizando la regla del 70, estimamos que si la economía de EE. UU. sigue creciendo al 2,43 %, se duplicará en 28,80 años.

$$ \text{t}=\frac{\text{70}}{\text{2,43}}=\text{28,80} $$

Ahora, averigüemos qué tan precisa es la regla de 70 al encontrar el valor del proyecto del PIB de EE. UU. en 28.80 años usando la fórmula para la tasa de crecimiento anual compuesta:

$$ {\rm \text{PIB}} _ \text{t}={\rm \text{PIB}} _ \text{0}\times{(\text{1}+\text{g})} ^\text{t}\\=\text{\$18,09 billones}\times{(\text{1}+\text{2,43%})}^{\text{28,80}}=\text{\$36,12 billones} $$

Dado que el doble de $18,09 billones es $36,18 billones, nuestra estimación de $36,12 billones está muy cerca.

La regla del 70 se puede aplicar independientemente del valor absoluto del proyecto interno bruto. Significa que la regla se puede aplicar a cualquier economía.