Matriz de pagos

En la teoría de juegos, una matriz de pagos es una tabla en la que las estrategias de un jugador se enumeran en filas y las del otro jugador en columnas y las celdas muestran los pagos para cada jugador, de modo que el pago del jugador de la fila se enumera primero.

El pago de un juego es una ganancia/beneficio incremental o una pérdida/costo que se acumulan para un jugador al ejecutar su estrategia dada la estrategia del otro jugador. La recompensa depende del contexto del juego. Por ejemplo, las empresas que deciden sobre sus presupuestos de publicidad se preocupan por sus ingresos, las empresas que realizan nuevas inversiones en plantas y maquinaria están interesadas en encontrar su tasa de rendimiento, etc.

Una matriz de pagos es una herramienta importante en la teoría de juegos porque resume la información necesaria y nos ayuda a determinar si existe una estrategia dominante y/o un equilibrio de Nash. Tiene aplicación en modelos de oligopolio, etc.

Presentación

Si el jugador de la fila tiene n estrategias y el jugador de la columna tiene m estrategias, el número de celdas en la matriz debe ser n × m y debe haber un número total de 2 × n × m valores de pago.

Una matriz de pagos enumera el nombre del jugador de la fila a la izquierda de la matriz y el nombre del jugador de la columna arriba de la matriz. Las estrategias del jugador de fila forman las filas de la matriz y las estrategias del jugador de columna forman su columna. El pago para el jugador de la fila siempre aparece primero en cada celda, pero la presentación real puede variar de la siguiente manera:

• Los pagos se pueden separar con una coma, de modo que los pagos del jugador de la fila aparezcan a la izquierda de la coma y los pagos del jugador de la columna se enumeren a la derecha de la coma.
• Alternativamente, el pago de la fila se muestra en la parte inferior izquierda de cada celda y el pago de la columna se muestra en la esquina superior derecha de la celda. A veces se dibuja una diagonal dentro de la celda para separar los dos pagos. El siguiente ejemplo ilustra diferentes métodos de presentación.

Ejemplo

Consideremos dos operadores de telecomunicaciones: Fila y Columna. Actualmente, se reparten el mercado por igual. Hay un valor de $ 50 millones de mercado sin explotar. Si Row expande su red, podrá capturar los ingresos completos de $ 50 millones si Column no expande su red, y viceversa. De manera similar, si ambos expanden su red, Row obtendrá $20 millones de ingresos adicionales y Column $30 millones, pero si nadie expande su red, ambos obtienen cero ingresos adicionales.

Vamos a crear una matriz de pagos para este juego.

• Hay dos jugadores: Fila y Columna y cada uno tiene dos estrategias, es decir, expandirse o no expandirse. Por lo tanto, debe haber cuatro celdas en la matriz.
• Indicamos Fila como el jugador cuyas estrategias se enumeran en filas en rojo y Columna como el jugador cuyas estrategias se tabulan en columnas en azul.
• La celda superior izquierda corresponde a una estrategia en la que ambas empresas se expanden. En tal eventualidad, Fila recibe $20 millones (que aparece primero) y Columna recibe $30 millones (que aparece último).
• La celda inferior izquierda corresponde a una estrategia cuando Fila no se expande pero Columna se expande. El pago de Fila y Columna en este caso es 0 y $50 millones, respectivamente. Este pago se invierte en la esquina superior derecha, que representa el pago cuando la Fila se expande pero la Columna no.
• La celda inferior derecha representa una situación en la que ninguna empresa se mueve para capturar el mercado y ambas obtienen un pago de cero.

La siguiente tabla muestra las diferentes formas en que se puede presentar la matriz de pagos.