Varianza del rendimiento de la cartera

La varianza de una cartera mide la dispersión de los rendimientos medios de una cartera con respecto a su media. Nos informa sobre el riesgo total de la cartera. Se calcula con base en las varianzas individuales de las inversiones del portafolio y su correlación mutua.

Variación de activos individuales

La varianza de una inversión individual se calcula utilizando los siguientes pasos:

• Calcule la media aritmética (es decir, el promedio) de los rendimientos de los activos
• Averigüe la diferencia entre cada valor de retorno de la media y elévelo al cuadrado
• Sume todas las desviaciones al cuadrado y divídalo por el número total de observaciones

Digamos que una inversión generó un rendimiento del 2%, 3%, 4% en tres meses. La media aritmética de los rendimientos es igual al 3%:

La suma de las desviaciones al cuadrado es 0,02%:

Suma de desviaciones al cuadrado
= (2 % − 3 %) ² + (3 % − 3 %) ² + (4 % − 3 %) ²
= 0,02 %

La varianza de la inversión individual es igual a 0,0067%

En el caso de una cartera, necesitamos calcular la varianza utilizando la varianza individual de cada inversión. Sin embargo, debido a que diferentes inversiones tienen una correlación menos que perfecta, debemos tener en cuenta las covarianzas entre diferentes inversiones. La varianza de una cartera es menor que el promedio ponderado de la varianza de las inversiones individuales debido a su correlación menos que perfecta.

Cálculo de la varianza de una cartera

Para el cálculo de la varianza de una cartera, necesitamos una matriz de correlación mutua de todos los activos constituyentes de la cartera (llamada matriz de correlación). La fórmula exacta difiere según el número de activos en la cartera.

En el caso de una cartera de dos activos , podemos calcular la varianza de la cartera de la siguiente manera:

σ ² = w ₁ ² σ ₁ ² + w ₂ ² σ ₂ ² + 2w ₁ w ₂ Covarianza(1,2)

Donde w ₁ es el peso del primer activo, w ₂ es el peso del segundo activo, σ ₁ ² es la varianza del primer activo y σ ₂ ² es la varianza del segundo activo y Covariance(1,2) muestra la covarianza de los dos activos. Dado que la covarianza es igual al producto del coeficiente de correlación y la desviación estándar de cada activo, podemos reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera:

σ ² = w ₁ ² σ ₁ ² + w ₂ ² σ ₂ ² + 2w ₁ w ₂ σ ₁ σ ₂ ρ

ρ es el coeficiente de correlación de los rendimientos del primer y segundo activo.

Para una cartera de tres activos , la fórmula de la varianza es la siguiente:

σ ²
= w ₁ ² σ ₁ ² + w ₂ ² σ ₂ ² + w ₃ ² σ ₃ ²
+ 2w ₁ w ₂ σ ₁ σ ₂ ρ _1,2
+ 2w ₂ w ₃ σ ₂ σ ₃ ρ _2,3
+ 2w ₁ w ₃ σ ₁ σ ₃ ρ _1,3

De manera similar, podemos crear una función para una cartera con n número de activos donde hay n número de términos de productos de activos ponderados al cuadrado y varianzas y n(n-1)/2 número de términos de covarianza.

Una mejor manera es usar la matriz de varianza-covarianza para encontrar la varianza de la cartera.

Ejemplo

Ilustre los beneficios de la diversificación en una cartera de tres inversiones, una acción A, un bono B y un activo inmobiliario C. Las ponderaciones de los activos son 20 %, 35 % y 45 % respectivamente, sus desviaciones estándar son 2,3 %, 3,5 % y 4 %, el coeficiente de correlación entre A y B es 0,6, entre A y C es 0,8 y entre B y C es 0,5:

Necesitamos calcular la varianza de la cartera de la siguiente manera:

σ ²
= 20 % ² × 2,3 % ² + 35 % ² × 3,5 % ² + 45 % ² × 4 % ²
+ 2 × 20 % × 35 % × 2,3 % × 3,5 % × 0,6
+ 2 × 35 % × 45 % × 3,5 % × 4 % × 0,5
+ 2 × 20 % × 45 % × 2,3 % × 4 % × 0,8
= 0,0916 %

La volatilidad se mide mejor utilizando la desviación estándar, que se puede calcular de la siguiente manera:

σ = (σ ² ) ^1/2 = (0,0916%) ^1/2 = 3,03%

Si los activos tuvieran una correlación perfecta y se movieran juntos, la varianza de la cartera y la desviación estándar habrían sido 0.1215% y 3.49%. Pero dado que diferentes activos rara vez tienen una correlación perfecta, la diversificación es útil. Una buena prueba para ver si la adición de un activo resultará en un beneficio de diversificación o no es comparar el índice de Sharpe antes y después de la adición.