Valor presente de una anualidad

Una anualidad es una serie de pagos iguales espaciados uniformemente realizados durante un cierto período de tiempo. Hay dos tipos básicos de anualidades: la anualidad ordinaria y la anualidad vencida. La renta vitalicia ordinaria es aquella en la que los pagos periódicos se realizan al final de cada período, mientras que la anualidad vencida es aquella en la que los pagos periódicos se realizan al comienzo de cada período.

El valor presente de una anualidad es la suma de los pagos periódicos, cada uno descontado a la tasa de interés dada para reflejar el valor del dinero en el tiempo. Definido alternativamente, el valor actual de una anualidad es la cantidad que, si se invierte al comienzo del primer período a la tasa de porcentaje anual dada, igualará la suma de la cantidad invertida y el interés compuesto ganado en la inversión con el producto del número de pagos periódicos y el valor nominal de cada pago.

Fórmula

Aunque el valor actual (PV) de una anualidad se puede calcular descontando cada pago periódico por separado al punto de partida y luego sumando todas las cifras descontadas, es más conveniente usar las siguientes fórmulas.

Dado que los flujos de efectivo ocurren un período antes en el caso de una anualidad vencida, el valor presente de la anualidad vencida se puede determinar invirtiendo el descuento de un período. La relación entre el valor presente de una anualidad ordinaria y el valor presente de una anualidad vencida viene dada por la siguiente expresión:

PV de Anualidad Vencida = PV de Anualidad Ordinaria × (1 + i)

Sustituyendo la expresión por el valor presente de la anualidad ordinaria, obtenemos la siguiente ecuación:

Donde,
   i es la tasa de interés por periodo de capitalización;
   n son el número de períodos de capitalización; y
   R es el pago periódico fijo.

Ejemplos

Ejemplo 1: Calcule el valor presente el 1 de enero de 2011 de una anualidad de $500 pagada al final de cada mes del año calendario 2011. La tasa de interés anual es del 12%.

Solución

Tenemos,
Pago Periódico        R   = $500
Número de períodos       n   = 12
Tasa de interés           i   = 12%/12 = 1%
Valor presente          PV   = $500 × (1-(1+1%)^(-12))/1%
                          = $500 × (1-1.01^-12)/1%
                          ≈ $500 × (1-0.88745)/1%
                          ≈ $500 × 0.11255/1%
                          ≈ $500 × 11.255
                          ≈ $5,627.54

Ejemplo 2: Se invirtió cierta cantidad el 1 de enero de 2010 de tal forma que generó un pago periódico de $1,000 al inicio de cada mes del año calendario 2010. La tasa de interés de la inversión fue de 13.2%. Calcule la inversión original y el interés ganado.

Solución

Pago Periódico        R   = $1,000
Número de períodos       n   = 12
Tasa de interés           i   = 13,2%/12 = 1,1%
Inversión original = PV de la anualidad con vencimiento el 1 de enero de 2010
                          = $1000 × (1-(1+1,1 %)^(-12))/1,1 % × (1+1,1 %)
                          = $1000 × (1-1,011^-12)/0,011 × 1,011
                          ≈ $1000 × (1-0,876973)/0,011 × 1,011
                          ≈ $1000 × 0,123027/0,011 × 1,011
                          ≈ $1,000 × 11.184289 × 1.011
                          ≈ $11,307.32
Intereses Ganados ≈ $1,000 × 12 − $11,307.32
                          ≈ $692.68