El valor futuro de una sola suma compuesta continuamente se puede calcular multiplicándolo por e (2.718281828) elevado a la potencia del producto de la tasa de porcentaje anual aplicable (r) y el período de tiempo (t).
Digamos que tiene $1,000 depositados en una cuenta que gana un 8% anual. Si hay capitalización anual, el valor de $1,000 después de un año será $1,080 (=$1,000 × (1 + 8%). Si hay capitalización semestral, trimestral, mensual y diaria, el valor futuro será:
Capitalización semestral
$$ =\text{\$1000}\times{\left(\text{1}+\frac{\text{8%}}{\text{2}}\right)}^\text{2}=\ texto{\$1,081.60} $$
Capitalización trimestral
$$ =\text{\$1000}\times{\left(\text{1}+\frac{\text{8%}}{\text{4}}\right)}^\text{4}=\ texto{\$1,082.43} $$
Capitalización mensual
$$ =\text{\$1000}\times{\left(\text{1}+\frac{\text{8%}}{\text{12}}\right)}^{\text{12}} \\=\texto{\$1,083.00} $$
Capitalización diaria
$$ =\text{\$1,000}\times{\left(\text{1}+\frac{\text{8%}}{\text{365}}\right)}^{\text{365}} \\=\texto{\$1,083.28} $$
Si observa, el diferencial que resulta del aumento en la frecuencia de capitalización cae a medida que avanzamos hacia unidades de tiempo cada vez más pequeñas. Si el interés se capitaliza cada nanosegundo, el valor futuro será igual a $1,083.287 como se calcula a continuación:
$$ \text{FV}\ (\text{composición continua})\\=\text{\$1000}\times{\text{2,718281828}}^{\text{0,08}\times\text{1}}\ \=\texto{\$1,083.287} $$
Fórmula
La siguiente es la fórmula para determinar el valor futuro de una sola suma en caso de capitalización continua:
$$ \text{FV}\ (\text{composición continua})=\text{PV}\times \text{e}^{\text{r}\times \text{t}} $$
Donde PV es el valor de la suma única en t=0, e es una constante que equivale a 2,718281828, r es la tasa porcentual nominal anual y t es el período de tiempo en años.
De manera similar, el valor futuro de una anualidad que está sujeta a capitalización continua se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:
$$ \text{FV de anualidad}\ (\text{Composición continua})\\=\text{PMT}\times\frac{\text{e}^{\text{r}\times \text{t} }-\text{1}}{\text{e}^\text{r}-\text{1}} $$
Donde e es 2,718281828, r es el tipo de interés nominal periódico (es decir, el tipo de interés aplicable a cada periodo de pago) yt es el número total de pagos.
Ejemplo
Averigüe el valor futuro de $1,000 depositados cada trimestre durante 3 años si la tasa de interés es del 9%.
La tasa de interés periódica es 2.25% (=9%/4) y el número de períodos aplicable es 12 (=4×3).
El valor futuro de la anualidad se puede calcular de la siguiente manera:
$$ \text{FV de anualidad}\ (\text{Composición continua})\\=\text{\$1000}\times\frac{{\text{2,718281828}}^{\text{0,0225}\times\text {12}}-\text{1}}{{\text{2,718281828}}^{\text{0,0225}}-\text{1}}=\text{\$13.621,8} $$
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