Tasa de interés al contado

La tasa de interés al contado para el vencimiento de X años se refiere al rendimiento al vencimiento de un bono de cupón cero con X años hasta el vencimiento. Se utilizan para (a) determinar el valor sin arbitraje de un bono, (b) determinar las tasas de interés implícitas a plazo a través del proceso llamado bootstrapping y (c) trazar la curva de rendimiento.

Un bono cupón cero es un instrumento de deuda que paga su valor nominal, es decir, el principal, en su fecha de vencimiento. No realiza ningún otro pago al tenedor del bono. El rendimiento de dicho instrumento es una medida directa del rendimiento requerido para el vencimiento dado. El precio de un bono cupón cero es igual al valor actual de su valor nominal. Esta relación se puede expresar de la siguiente manera:

$$ \text{P}=\frac{\text{FV}}{\left(\text{1}+\frac{\text{YTM}}{\text{m}}\right)^{\text {n}\times\text{m}}} $$

Donde FV es el valor nominal del bono, YTM es el rendimiento al vencimiento, m es el número de períodos de capitalización por año y n es el número de años hasta el vencimiento. Al reorganizar la expresión anterior, podemos calcular la fórmula para el rendimiento al vencimiento de un bono cupón cero:

$$ \text{s} _ \text{n}=\text{YTM}=\left[\left(\frac{\text{FV}}{\text{P}}\right)^\frac{\ texto{1}}{\text{n}\times \text{m}}-\text{1}\right]\times \text{m} $$

El rendimiento al vencimiento calculado anteriormente es la tasa de interés al contado (s _n ) durante n años.

Al determinar las tasas de interés al contado correspondientes a cada flujo de efectivo de un bono y luego descontar cada flujo de efectivo utilizando ese rendimiento específico del período, podemos determinar el precio sin arbitraje de un bono.

Ejemplo: tipos de interés al contado y curva de rendimiento

Veamos cómo podemos crear la curva de rendimiento a partir de los siguientes precios de mercado actuales de bonos cupón cero con capitalización semestral:

La siguiente tabla muestra las tasas al contado relevantes:

Ilustramos cómo determinar la tasa al contado para el bono con 15 años hasta el vencimiento de la siguiente manera:

$$ \text{s} _ {\text{15}}=\left[\left(\frac{\text{\$100}}{\text{\$38.50}}\right)^\frac{\text{ 1}}{\text{15}\times\text{2}}-\text{1}\right]\times\text{2}=\text{6,47 %} $$

Si graficamos el programa anterior de tasas de interés al contado con referencia a sus vencimientos, obtenemos la curva de rendimiento:

Tasa de interés al contado vs rendimiento al vencimiento

El rendimiento al vencimiento y la tasa de interés al contado en el caso de los bonos de descuento puro, es decir, los bonos cupón cero, son los mismos. Sin embargo, en el caso de los bonos que pagan cupones, el rendimiento al vencimiento es el promedio (algo) ponderado de las tasas de interés al contado individuales que se aplican a cada flujo de caja del bono.

Digamos que tenemos un bono a 3 años con un valor nominal de $100 y un cupón anual de $2,00. Los tipos de interés al contado a 1, 2 y 3 años son del 1,50%, 1,75% y 1,95%.

La siguiente ecuación describe la relación entre el rendimiento al vencimiento del bono y las tasas de interés al contado relevantes:

$$ \frac{\text{\$2}}{({\text{1}+\text{YTM})}^\text{1}}+\frac{\text{\$2}}{({\ texto{1}+\text{YTM})}^\text{2}}+\frac{\text{\$100}+\text{\$2}}{({\text{1}+\text{YTM })}^\text{2}}\\=\frac{\text{\$2}}{({\text{1}+\text{1.50%})}^\text{1}}+\frac {\text{\$2}}{({\text{1}+\text{1.75%})}^\text{2}}+\frac{\text{\$100}+\text{\$2}} {({\text{1}+\text{1,95 %})}^\text{3}} $$

Lo que hemos hecho es encontrar el precio sin arbitraje del bono utilizando las tasas de interés al contado (en el lado derecho de la ecuación). El lado izquierdo calcula el rendimiento al vencimiento (es decir, la tasa interna de rendimiento) del bono como la tasa que iguala sus flujos de efectivo futuros a su precio sin arbitraje.

El precio sin arbitraje (es decir, el lado derecho) equivale a $102,33, lo que da un 1,94 % (es decir, el lado izquierdo).