Tasa compuesta de crecimiento anual

La tasa de crecimiento anual compuesto (CAGR) es una tasa anual única que captura el crecimiento compuesto de una inversión o préstamo durante varios años. Dado el valor de una inversión en el momento 0 denominado valor presente, su valor en una fecha futura determinada denominada valor futuro y el tiempo de duración entre los dos valores, podemos calcular CAGR.

Las inversiones, los ingresos, los gastos, etc. crecen a ritmos diferentes en períodos diferentes, lo que dificulta la comparación entre ellos. CAGR, siendo una medida estandarizada de crecimiento compuesto anual sin importar la duración del tiempo, refleja el efecto acumulativo de múltiples períodos y nos permite hacer comparaciones.

CAGR se puede calcular solo cuando tenemos valor presente, valor futuro y duración de tiempo de una sola suma. No se puede calcular para un flujo de efectivo, ingresos, etc. CAGR es diferente del rendimiento del período de tenencia, la tasa de crecimiento total acumulada en una inversión entre dos fechas.

Fórmula

CAGR se puede calcular usando la siguiente fórmula:

TACC = (FV/PV) ^(1/n) – 1

PV representa el valor presente, el valor en t=0 FV representa el valor futuro, el valor final en t=n N es el número total de años entre PV y FV.

Alternativamente, podemos usar las funciones TASA y/o RRI de Excel.

Comprender las matemáticas

Debes estar preguntándote cómo se nos ocurrió esta fórmula elegante. No es tan difícil.

La fórmula CAGR se puede derivar mediante una simple manipulación matemática de la fórmula para el valor presente o el valor futuro de una sola suma de dinero.

La relación entre el valor presente (PV) y el valor futuro (FV) de una sola suma de dinero invertida durante n períodos a una tasa de interés porcentual anual i se representa mediante la siguiente expresión:

VF = VA × (1 + i) ⁿ

Tasa representa la tasa de crecimiento compuesta anual y n es el número total de años. Sustituyamos i por CAGR:

VF = PV × (1 + CAGR) ⁿ

Dividamos ambos lados por PV y elevemos ambos lados a (1/n):

(FV/PV) ^(1/n) = ((1 + CAGR) ⁿ ) ^(1/n)

n y 1/n se cancelan entre sí, y obtenemos:

(FV/PV) ^(1/n) = 1 + TACC

Restando 1 de ambos lados obtenemos:

(FV/PV) ^(1/n) − 1 = TACC

Ejemplo

Usted trabaja en una firma de contabilidad que tiene tres divisiones: auditoría, impuestos y asesoría. Los ingresos de la división de auditoría fueron de $12 millones hace 5 años y $15 millones ahora. Los ingresos del departamento de impuestos fueron de $20 millones hace dos años y crecieron un 5% y un 7% en los últimos dos años, respectivamente. Los ingresos por asesoría en los últimos tres años fueron de $5 millones, $5,5 millones y $6,2 millones, respectivamente. Su socio a cargo le ha pedido que averigüe cuánto creció cada división en promedio por año.

Solución

Debe averiguar la tasa de crecimiento anual compuesta para cada división.

En caso de Auditoría, CAGR es:

CAGR de la División de Auditoría
= ($15/$12) ^(1/5) − 1
= 4,56 %

También puede calcularlo ingresando lo siguiente en cualquier celda de Excel “= TASA (5,0, -12,15)”

En el caso de la División de Impuestos, primero debemos encontrar los ingresos de hoy dados los ingresos de hace dos años y las tasas de crecimiento de dos años. Los ingresos de hoy equivalen a $22,47 millones (= $20 millones × (1 + 5%) × (1 + 7%)). Esto también se puede calcular utilizando la función FVSCHEDULE.

Ahora, podemos calcular CAGR para la División de Impuestos:

CAGR de la División de Impuestos
= ($22.47/$20) ^(1/2) − 1
= 6%

Alternativamente, puede calcular la CAGR para impuestos usando la siguiente fórmula de Excel: “=RRI(2,20,-22.47)”

En el caso de la División de Asesoramiento, tenemos cifras de ingresos reales, pero dado que estamos haciendo una comparación entre la fecha de inicio y la fecha de finalización, basamos la CAGR en $5 millones, el valor de ingresos más temprano y $7 millones, los ingresos más recientes.

CAGR de la División de Asesoría
= ($6.2/$5) ^(1/2) − 1
= 11.36%

La comparación muestra que la División de Asesoría es el área de mayor crecimiento.