La media geométrica es uno de los métodos para estimar el valor medio de algunos datos. En la media geométrica, el criterio del punto medio se basa en la progresión geométrica donde la diferencia entre los valores consecutivos aumenta exponencialmente. Se calcula como la raíz enésima del producto de los valores.
La media geométrica generalmente se usa para estimar el punto medio de tasas múltiples.
Fórmula
la fórmula es
$$ \sqrt[\text{n}]{\text{a} _ \text{1}\cdot \text{a} _ \text{2}\cdot \text{a} _ \text{3}\ ldots \text{a} _ \text{n}} $$
Donde, n es el número de valores.
En palabras simples, la media geométrica calcula el promedio usando el producto en lugar de la suma. Combinamos todos los valores usando la multiplicación y luego los separamos por la raíz enésima como en la media aritmética donde combinamos los valores usando la suma y luego los separamos por división.
La media geométrica también se puede calcular mediante la versión logarítmica de la fórmula anterior.
$$ \frac{\log{\text{a} _ \text{1}}+\log{\text{a} _ \text{3}}+\log{\text{a} _ \text{3 }+\ldots +\ \log{\text{a} _ \text{n}}}}{\text{n}} $$
De hecho, la media aritmética de los logaritmos de los valores de los datos es igual a la media geométrica.
Origen
La media geométrica está relacionada con la secuencia geométrica de números donde la proporción de dos elementos adyacentes es la misma, como en la secuencia aritmética donde la diferencia de dos elementos adyacentes es la misma. Por lo tanto, la media geométrica de dos valores, ya que promete encontrar el valor medio, dará como resultado un valor que mantiene la relación.
Considere dos valores a y b donde m es el valor que mantendrá la progresión geométrica.
$$ \text{a} \text{,} \ \text{m} \text{,} \ \text{b} $$
Dado que se supone que la relación es la misma en dos valores adyacentes, entonces
$$ \frac{\text{a}}{\text{m}}=\ \frac{\text{m}}{\text{b}} $$
$$ \text{m}=\sqrt{\text{ab}} $$
Ejemplo
Para comenzar con un ejemplo simple, considere dos números 3 y 12.
$$ \text{Media geométrica de 3 y 12}=\sqrt{\text{3}*\text{12}}=\sqrt{\text{36}}=\text{6} $$
Los números 3,6,12 forman ahora una secuencia geométrica. (12/6 = 2 = 6/3)
Cuándo usar la media geométrica
Un desarrollador de aplicaciones utiliza una estrategia de invitación a la aplicación en la que se recompensa al usuario por traer nuevos usuarios. El número de usuarios aumenta exponencialmente en el lapso de 6 meses de la siguiente manera.
| Mes | Usuarios | Usuarios nuevos | Crecimiento |
|---|---|---|---|
| 1 | 1000 | – | – |
| 2 | 1150 | 150 | 1.15 |
| 3 | 1500 | 350 | 1.30 |
| 4 | 2000 | 500 | 1.33 |
| 5 | 2700 | 700 | 1.35 |
| 6 | 3600 | 900 | 1.33 |
Media aritmética de crecimiento = 1,294203 Media geométrica de crecimiento = 1,291994
| Mes | Simulación de crecimiento medio aritmético | Simulación de crecimiento de tasa media geométrica |
|---|---|---|
| 1 | 1000 | 1000 |
| 2 | 1294 | 1291 |
| 3 | 1674 | 1669 |
| 4 | 2167 | 2156 |
| 5 | 2805 | 2786 |
| 6 | 3630 | 3600 |
En la tabla anterior hemos simulado el crecimiento en el número de usuarios utilizando medias aritméticas y geométricas. No obtenemos el valor final original en el caso de la simulación de crecimiento medio aritmético, mientras que el crecimiento simulado utilizando la media geométrica nos da el valor final original. La razón detrás del error es que la misma tasa de crecimiento da como resultado un aumento desigual en el número de usuarios. La cantidad de nuevos usuarios en el mes depende de la cantidad de usuarios en el mes anterior.
Por lo tanto, la media geométrica se usa cuando el valor sucesivo depende del valor actual y la tasa/proporción, como en el crecimiento de la población y el rendimiento de las inversiones, etc.