Producto marginal del capital

El producto marginal del capital (MPK) es el aumento incremental en la producción total que resulta del aumento de una unidad en el capital mientras se mantienen constantes todos los demás insumos.

Identificar el producto marginal del capital es importante porque las empresas toman decisiones de inversión comparando su producto marginal del capital con su costo de capital. Cuando el producto marginal del capital es mayor que el costo del capital, tiene sentido aumentar la producción aumentando el capital, pero tan pronto como el producto marginal del capital cae por debajo del costo del capital, agregar más capital resulta en una disminución de las ganancias de la empresa. .

La producción total de una economía se representa mejor en la mayoría de los casos mediante la función de producción Cobb-Douglas con rendimientos constantes a escala. Según el modelo Cobb-Douglas, la producción total de una economía (Y) depende de la productividad total de sus factores (A), su stock de mano de obra (L) y capital (K) y la capacidad de respuesta de Y a cada insumo:

$$ \text{Y}=\text{A}\times \text{K}^\alpha\times \text{L}^{\text{1}-\alpha} $$

α representa la proporción de capital y 1- α representa la proporción de trabajo requerida para que ocurra la producción.

Cuando una economía tiene rendimientos constantes a escala, cualquier aumento de capital mientras se mantiene constante el trabajo da como resultado una disminución del producto marginal del capital, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Cálculo

El producto marginal del capital de una economía que está representada por la función de producción Cobb-Douglas se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

$$ \text{MPK}=\alpha\times \text{A}\times \text{K}^{\alpha-\text{1}}\times \text{L}^{\text{1}- \alpha}=\alpha\times\frac{\text{Y}}{\text{K}} $$

Las ecuaciones anteriores se obtienen utilizando un poco de cálculo, es decir, diferenciando la función Cobb-Douglas con respecto a K manteniendo L constante.

$$ \text{MPK}=\frac{\parcial \text{Y}}{\parcial \text{K}}=\frac{\parcial \text{A} \text{K}^\alpha \text{ L}^{\text{1}-\alpha}}{\parcial \text{K}} $$

$$ \text{MPK}=\alpha\times \text{AK}^{\alpha-\text{1}}\text{L}^{\text{1}-\alpha} $$

Mover K ^α-1 al denominador nos da la siguiente expresión:

$$ \text{MPK}=\alpha\times \text{A}\times\frac{\text{L}^{\text{1}-\alpha}}{\text{K}^{\text{ 1}-\alfa}} $$

Multiplicando y dividiendo el lado derecho de la ecuación anterior por K ^α , obtenemos:

$$ \text{MPK}=\alpha\times \text{A}\times\frac{\text{L}^{\text{1}-\alpha}}{\text{K}^{\text{ 1}-\alpha}}\times\frac{\text{K}^\alpha}{\text{K}^\alpha} $$

Un poco de reordenamiento:

$$ \text{MPK}=\alpha\times\frac{\text{A}\times \text{K}^\alpha\times \text{L}^{\text{1}-\alpha}}{ \text{K}^{\text{1}-\alfa+-\alfa}} $$

El numerador es exactamente igual a Y y el denominador se reduce a K:

$$ \text{MPK}=\alpha\times\frac{\text{Y}}{\text{K}} $$

Ejemplo y Gráfico

Consideremos una economía que produce solo cochecitos de bebé y cuya producción está representada por la siguiente ecuación:

$$ \text{Y}=\text{2000}\times \text{K}^{\text{0,5}}\times \text{L}^{\text{0,5}} $$

La siguiente tabla muestra el número total de cochecitos de bebé producidos cuando el número de plantas de fabricación aumenta pero la mano de obra capacitada disponible para operarlos permanece constante.

El siguiente gráfico muestra la producción total en el eje y y el capital, K en el eje x.

La curva de producción total se vuelve más plana a medida que se agrega más y más capital mientras se mantiene constante el trabajo. Se debe a que cuando el capital aumenta sin un aumento asociado de la mano de obra, no hay suficientes personas para operar las máquinas y, por lo tanto, el aumento de la producción es menor.