Número de períodos de tiempo en TVM

Si tenemos información sobre el valor presente, el valor futuro, los flujos de efectivo periódicos y la tasa de interés, podemos calcular la cantidad de períodos de tiempo involucrados con el álgebra, la calculadora financiera o la función NPER de Excel.

La fórmula exacta que podemos usar depende de si estamos tratando con interés simple o interés compuesto. El interés simple es cuando el interés se calcula solo sobre el saldo principal y el interés compuesto es cuando la tasa de interés se aplica a la suma del monto principal y cualquier interés ya acumulado.

Interés simple

Si se trata de interés simple, el número de períodos de tiempo (t) se puede calcular de la siguiente manera:

$$ \text{t}=\frac{\text{I}}{\text{PV}\times \text{i}}=\frac{\text{VF}\ -\ \text{PV}}{ \text{PV}\times \text{i}} $$

Donde FV es el valor futuro, PV es el valor presente, I es el monto total de interés, i es la tasa de interés simple periódica y t es el número de períodos de tiempo.

Entendiendo las matemáticas

Podemos usar la expresión para el valor futuro en caso de interés simple para llegar a la ecuación de tasa de interés simple:

$$ \text{VF}\ =\ \text{PV}\times(\text{1}+\text{i}\times \text{t}) $$

Paso 1: divide ambos lados por PV

$$ \frac{\text{VF}}{\text{PV}}\ =\frac{\ \text{PV}}{\text{PV}}\times(\text{1}+\text{i }\times \text{t})=\text{1}+\text{i}\times \text{t} $$

Paso 2: resta 1 de ambos lados:

$$ \frac{\text{VF}}{\text{PV}}-\text{1}\ =\text{i}\times \text{t} $$

$$ \frac{\text{VF}\ -\ \text{PV}}{\text{PV}}=\text{i}\times \text{t} $$

Paso 3: divide ambos lados por i

$$ \text{t}\ =\ \frac{\text{VF}\ -\ \text{PV}}{\text{PV}\times \text{i}} $$

Como FV – PV es igual a I, la cantidad total de interés, podemos escribir:

$$ \text{t}\ =\ \frac{\text{I}}{\text{PV}\times \text{i}} $$

Interés compuesto

En el caso del interés compuesto, el número de períodos se puede derivar utilizando la ecuación básica del valor del dinero en el tiempo:

$$ \text{VF}=\text{PV}\times{(\text{1}+\text{r})}^\text{n} $$

Donde FV es el valor futuro, PV es el valor presente, r es la tasa de interés compuesta periódica y n es el número total de períodos.

Entendiendo las matemáticas

Paso 1: divide ambos lados con PV

$$ \frac{\text{VF}}{\text{PV}}=\frac{\text{PV}}{\text{PV}}\times{(\text{1}+\text{r} )}^\text{n}=\text{1}\times{(\text{1}+\text{r})}^\text{n} $$

Paso 2: toma registro de ambos lados

$$ \text{registro}\left(\frac{\text{FV}}{\text{PV}}\right)=\text{registro}\ ({(\text{1}\ +\text{r })}^\texto{n}) $$

Paso 3: reordenando la ecuación anterior usando las reglas del logaritmo del cociente y la potencia:

$$ \text{registro}\ (\text{FV})\ -\ \text{registro}\ (\text{PV})=\text{n}\times \text{registro}\ (\text{1 }+\texto{r}) $$

Paso 4: dividiendo ambos lados con log (1 + r) y reordenando:

$$ \text{n}\ =\frac{\text{registro}\ (\text{FV})\ -\ \text{registro}\ (\text{PV})}{\text{registro}\ ( \text{1}\ +\ \text{r})} $$

Ejemplo

Usted escribe un pagaré que se basa en una tasa de interés simple anual del 6,67 % con un valor de vencimiento de $1200 por $1000 e invierte las ganancias en un certificado de depósito a una tasa de interés del 8,94 % compuesto semestralmente con un valor de vencimiento de $1300. Averigüe el número de períodos en ambos instrumentos financieros.

Solución

Dado que el pagaré se basa en el interés simple, el número de períodos de tiempo (t) se puede calcular de la siguiente manera:

$$ \text{t}=\frac{\text{\$1200}\ -\ \text{\$1000}}{\text{1000}\times\text{6,67 %}}=\text{3} $$

Como la tasa de interés está expresada en años, también obtenemos t en años.

El número de períodos de tiempo involucrados en el certificado de depósito se puede calcular de la siguiente manera:

$$ \text{n}\ =\frac{\text{registro}\ (\text{\$1,300})\ -\ \text{registro}\ (\text{\$1,000})}{\text{registro} \ (\text{1}\ +\ \text{4.47%})} $$

$$ \text{n}\ =\frac{\text{3,114}\ -\ \text{3}}{\text{0,019}}=\text{6} $$

Dado que el interés se capitaliza semestralmente, hemos utilizado una tasa de interés periódica del 4,47 % (=8,94 % dividido por 2). En el caso de la capitalización semestral, el número de períodos (NPER) que obtenemos también está en número de períodos semestrales.

El número total de años se puede calcular dividiendo n por el número de períodos de capitalización por año, es decir, 6 dividido 2. Esto nos dice que el certificado de depósito vencerá en 3 años.