Modelo de fijación de precios de opciones binomiales

El modelo de valoración de opciones binomial es un modelo neutral al riesgo que se utiliza para valorar opciones dependientes de la ruta, como las opciones americanas. Bajo el modelo binomial, el valor actual de una opción es igual al valor actual de los pagos futuros ponderados por probabilidad de las opciones.

Es diferente del modelo de Black-Scholes-Merton, que es el más apropiado para valorar opciones independientes de la trayectoria.

Consideremos una opción de compra, una opción que da derecho al tenedor a comprar el subyacente (acción, bono, etc.) cuyo precio actual se denomina S al precio de ejercicio X. En cualquier momento, el subyacente puede tener dos precios movimientos: ya sea un movimiento hacia arriba o un movimiento hacia abajo. En el caso de un movimiento alcista, la relación entre el nuevo precio S+ y S se denomina factor alcista u. De manera similar, en caso de un movimiento hacia abajo, la relación entre el nuevo precio S- y S se denomina factor d a la baja. La opción de compra está dentro del dinero cuando el precio al contado del subyacente es más alto que el precio de ejercicio de la opción. En caso de un movimiento al alza, el pago de la opción de compra (c+) es igual a max(0,uS – X), es decir, el máximo de 0 o la diferencia entre el nuevo precio al contado y el precio de ejercicio. Por otro lado, en caso de un movimiento hacia abajo, el pago de la opción de compra (c-) es igual al mayor de 0 o (dS – X). El modelo binomial efectivamente pesa los diferentes pagos con su probabilidad asociada y los descuenta al tiempo 0.

Árbol binomial

El modelo binomial se representa mejor mediante árboles binomiales, que son diagramas que muestran el pago y el valor de la opción en diferentes nodos de la vida de la opción. El siguiente árbol binomial representa la opción de compra general de un período.

Fórmula

El valor de la opción de compra utilizando el modelo binomial de un período se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

$$ \text{c}=\frac{\pi\times \text{c}^++(\text{1}-\pi)\times \text{c}^-}{\text{1}+ \text{r}} $$

Donde π es la probabilidad de un movimiento ascendente que se determina usando la siguiente ecuación:

$$ \pi=\frac{\text{1}+\text{r}\ -\ \text{d}}{\text{u}\ -\ \text{d}} $$

Donde r es la tasa libre de riesgo, u es igual a la relación entre el precio del subyacente en caso de un movimiento al alza respecto al precio actual del subyacente y d es igual a la relación entre el precio del subyacente en caso de un movimiento a la baja respecto al precio actual del subyacente. subyacente.

El patrón de pago de una opción de venta, una opción que da derecho al tenedor a vender el subyacente al precio de ejercicio, es exactamente opuesto, es decir, su valor en caso de un movimiento hacia arriba (p ⁺ ) o hacia abajo (p ^– ) en el precio del subyacente S es max(X-uS,0) y max(X-dS,0) respectivamente. El valor de una opción de venta utilizando un modelo binomial de un solo período se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

$$ \text{p}=\frac{\pi\times \text{p}^++(\text{1}-\pi)\times \text{p}^-}{\text{1}+ \text{r}} $$

En el caso de un modelo binomial de varios períodos, solo necesita agregar etapas adicionales en el cálculo, como se ilustra en el ejemplo a continuación. El pago final de una opción de compra o venta después de diferentes movimientos de precios se puede calcular multiplicando el factor de subida y bajada para cada movimiento de precios. La siguiente tabla resume las diferentes situaciones de pago

Ejemplo

Tiene una opción de compra estadounidense que vence en 2 años con un precio de ejercicio de $30 en una acción que actualmente cotiza a $34. Espera que las acciones aumenten por un factor de 1,25 y disminuyan por un factor de 0,70. Si la tasa de interés es del 3%, determine el valor de la opción.

Primero necesitamos determinar la probabilidad de un movimiento hacia arriba usando la fórmula neutral al riesgo:

$$ \pi=\frac{\text{1}+\text{3%}\ -\text{0.7}}{\text{1.25}\ -\ \text{0.7}}=\text{0.6} $ ps

El siguiente árbol binomial resume la valoración de opciones en diferentes nodos:

El precio del subyacente y el pago de la opción de compra, al final del Año 2, en caso de un movimiento alcista tanto en el Año 1 como en el Año 2, es igual a $53,125 (=$34 × 1,25 × 1,25) y $23,125 ($53,125 – $30) respectivamente.

De manera similar, el precio de la opción de compra subyacente y asociada en caso de un movimiento hacia abajo y hacia arriba en el Año 1 o en el Año 2 es igual a $ 29.75 (= $ 34 × 1.25 × 0.7) y $ 0 respectivamente. El valor de la opción de compra al final del año 2 en este caso es 0 porque el precio al contado es más bajo que el precio de ejercicio. En caso de un movimiento a la baja en ambos años, el precio al contado al final del año 2 se reducirá a $16,66 y la opción de compra no tendrá valor.

Utilizando estos pagos finales, podemos averiguar el valor de la opción de compra al final del Año 1. En caso de un movimiento ascendente en el Año 1, existe una probabilidad de 0,6 de que la opción valga $23,125 (correspondiente al valor subyacente de $53,125) y una probabilidad de 0,4 de que sea 0 (correspondiente al valor subyacente de $29,75) al final del año 2. Esta información se puede utilizar para averiguar el valor de la opción al final del año 1:

$$ \text{c}^+=\frac{\text{0,6}\times\text{\$23,125}+(\text{1}-\text{0,6})\times\text{0}}{\ texto{1}+\texto{3%}}=\texto{\$13,47} $$

Usando el mismo enfoque, podemos determinar c-, que es igual a 0.

Los valores de la opción al final del año 1, es decir, c ⁺ y c ^– se pueden utilizar para determinar el valor de la opción en el momento 0, es decir, c:

$$ \text{c}=\frac{\text{0,6}\times\text{\$13,47}+(\text{1}-\text{0,6})\times\text{0}}{\text{ 1}+\texto{3%}}=\texto{\$7,85} $$