Modelo de crecimiento de Solow

El modelo de crecimiento de Solow es un modelo que explica la relación entre el crecimiento económico y la acumulación de capital y concluye que las economías gravitan hacia un estado estable de capital y producción a largo plazo.

El modelo de crecimiento de Solow es un modelo neoclásico de la teoría del crecimiento desarrollado por el economista del MIT Robert Solow. Implica que es posible que las economías crezcan a corto plazo aumentando el capital por trabajador, pero no a largo plazo porque a largo plazo el nivel de capital está restringido por el nivel de ingresos y la tasa de ahorro. El modelo muestra que, a largo plazo, el progreso tecnológico continuo es el único motor de crecimiento porque aumenta el ingreso total y, eventualmente, el nivel de capital y producción.

Ejemplo

Consideremos a Dorne, cuya economía se explica mejor mediante la siguiente función de producción de Cobb-Douglas:

$$ \text{Y}=\text{A}\times \text{K}^\frac{\text{1}}{\text{3}}\times \text{L}^\frac{\text {2}}{\texto{3}} $$

Y es la producción total, A es la productividad total de los factores, es decir, una medida del progreso tecnológico, K se refiere a unidades de capital y L se refiere a la fuerza de trabajo.

Supongamos que (a) el único bien de capital de Dorne es su sistema de riego medido en número de millas de canales de riego, (b) su único producto es algodón y (c) su población, tasa de participación laboral y tasa de empleo son constantes.

Podemos escribir la función de producción en términos por trabajador de la siguiente manera:

$$ \frac{\text{Y}}{\text{L}}\\=\text{A}\times \text{K}^\frac{\text{1}}{\text{3}} \times \text{L}^\frac{\text{2}}{\text{3}}\div \text{L}\\=\text{A}\times \text{K}^\frac{ \text{1}}{\text{3}}\times \text{L}^{\frac{\text{2}}{\text{3}}-\text{1}}\\=\text {A}\times \text{K}^\frac{\text{1}}{\text{3}}\times \text{L}^{-\frac{\text{1}}{\text{ 3}}}\\=\text{A}\times\left(\frac{\text{K}}{\text{L}}\right)^\frac{\text{1}}{\text{ 3}} $$

Significa que la producción por trabajador depende del capital por trabajador, es decir, la relación capital/trabajo y la participación del capital en la producción. El exponente de 1/3 implica que un aumento de una unidad en el capital provoca solo un aumento fraccionario en la producción por trabajador. En otras palabras, a medida que aumentamos el capital por trabajador, la producción total por trabajador aumenta cada vez menos debido a la disminución del producto marginal del capital.

Imaginemos que los canales de riego se deprecian a una tasa de δ cada período. Significa que el stock de canales de riego por trabajador después de cada período disminuye por un factor de δ × K/L. Donde k = K/L, esto se puede expresar de la siguiente manera:

$$ \delta \text{k}\ =\ \delta\times\ \text{k} $$

Para compensar el deterioro de su capital, los dornienses deben invertir en nuevos canales, pero su capacidad de inversión por trabajador depende de su renta por trabajador Y/L y de la tasa de ahorro s.

$$ \text{i}\ =\ \text{s}\times\ \text{y} $$

La tasa de depreciación, el nivel de capital, la tasa de ahorro y la producción juntos determinan el cambio neto en el capital (∆k):

$$ \Delta \text{k}=\text{i} – δ\text{k} = \text{sy} – δ\text{k} $$

Estado estable

La producción por trabajador y crece cada vez menos con el aumento del capital por trabajador k hasta que alcanza un punto en el que el cambio neto en el capital se aproxima a cero. Tal estado de cambio neto cero en el capital y crecimiento cero en la producción por trabajador se denomina estado estacionario del capital. Es el nivel de capital por trabajador en el que la economía ha maximizado su producción por trabajador.

Ilustremos este punto con los siguientes datos proporcionados por el contador de la Casa Martell:

• El stock de apertura de canales es de 200 millas y el número de trabajadores es de 1.000, que permanece constante.
• La tasa de depreciación es del 10%, es decir, el 10% de los canales debe reconstruirse cada período.
• La tasa de ahorro es del 40%

Usando la información anterior, podemos crear una tabla que muestre la relación entre capital, producción, inversión y depreciación:

En el Período 1, el capital por trabajador de 0,2 genera una producción de 0,58 (es decir, (0,2) ^1/3 ). Dado que el 40 % de la producción se ahorra e invierte, la nueva inversión por trabajador es 0,23 (es decir, 40 % de 0,58), pero como el 10 % del stock de capital se deprecia, el aumento neto del capital por trabajador es solo 0,21 (es decir, 0,23 minis 0,02) y el stock de cierre de capital por trabajador es 0,41.

En el Período 2, el capital por trabajador es 0,41, por lo que la producción es 0,75 (=(0,41) ^1/3 ), la nueva inversión por trabajador es 0,30 (es decir, el 40 % de 0,75) pero la inversión neta es solo 0,26 porque se deprecia 0,04 del capital.

Este proceso continúa hasta que la economía alcanza un punto en el que la nueva inversión y la depreciación son iguales y no hay aumento de capital.

Diagrama de Solow

Si graficamos los datos de la tabla anterior, obtenemos un diagrama de Solow que es una gráfica con el capital por trabajador en el eje x y la producción, la inversión y la depreciación en el eje y. Muestra el rendimiento decreciente del capital y el estado estacionario del capital.

El diagrama de Solow anterior muestra que a medida que el capital por trabajador llega a 8, la producción se establece en 2 por trabajador y permanece ahí infinitamente a menos que haya algún cambio en un factor externo como una guerra o algún desastre natural que perturbe el capital por trabajador. Otro factor que cambia el nivel de capital en estado estacionario es un cambio en la tasa de ahorro porque desplaza la nueva curva de inversión por trabajador.

El único ingrediente que puede generar un crecimiento económico sostenido es el progreso tecnológico. El progreso tecnológico aumenta la productividad total de los factores, lo que desencadena un aumento de la producción por trabajador que, a su vez, aumenta las nuevas inversiones y la economía pasa a un nuevo estado estacionario de capital.