Modelo de Cournot

El modelo de Cournot es un modelo de oligopolio en el que las empresas que producen productos idénticos compiten estableciendo su producción bajo el supuesto de que sus competidores no cambian su producción en respuesta.

A diferencia de un monopolio en el que solo hay un productor, un oligopolio en una estructura de mercado en la que hay más de un productor, y cada uno es lo suficientemente grande como para afectar las ganancias de otras empresas a través de sus acciones. Supongamos que Reach y Dorne son los dos únicos productores de algodón en Westeros. Si la demanda total es de 20 mil toneladas por año y Reach produce 15 mil toneladas en un período, Dorne solo tiene 5 mil toneladas para producir. Si Dorne produce más de 5 mil toneladas, el precio de mercado caerá perjudicando tanto a Reach como a Dorne. El modelo de Cournot nos ayuda a determinar un nivel de producción de este tipo para un oligopolio en el que ninguna empresa está mejor cambiando su producción unilateralmente.

Si Q es la producción total, que es la suma de Q _R , la cantidad producida por Reach y Q _D , la cantidad producida por Dorne, la función de demanda de algodón se puede escribir de la siguiente manera:

$$ \text{P}\ =\ \text{2000}\ -\ \text{20}\times \text{Q} $$

$$ \text{P}=\text{2,000}-\text{20}\times\left(\text{Q} _ \text{R}+\text{Q} _ \text{D}\right) $$

$$ \text{P}=\text{2000}-\text{20Q} _ \text{R}-\text{20Q} _ \text{D} $$

La producción que maximiza las ganancias del oligopolio como un todo ocurre cuando el ingreso marginal es igual al costo marginal.

Supongamos que el costo marginal es $1500 en Reach y $1600 en Dorne.

La función de ingresos marginales para Reach se puede determinar encontrando la función de ingresos totales (como un producto de Q y P) y luego obteniendo su primera derivada con respecto a QR:

$$ {\text{MR}} _ \text{R}=\text{2,000}-\text{40Q} _ \text{R}\ -\ \text{20Q} _ \text{D} $$

De manera similar, la función de ingreso marginal para Dorne es la siguiente:

$$ {\text{MR}} _ \text{D}=\text{2,000}-\text{20Q} _ \text{R}\ -\ \text{40Q} _ \text{D} $$

Curva de Demanda Residual

Volviendo a nuestro ejemplo, vemos que si Reach produce 15 toneladas, la función de demanda de Dorne se puede escribir de la siguiente manera:

$$ \text{P}=\text{2000}-\text{20}\times\text{15}\ -\ \text{20Q} _ \text{D}=\text{1700}\ -\ \ texto{20Q} _ \texto{D} $$

La ecuación anterior es una función de una curva de demanda residual. Una curva de demanda residual es una curva de demanda que muestra la demanda que queda para una empresa dada la oferta de otras empresas.

Si Reach produce 20 toneladas, la curva de demanda residual de Dorne se reduce a P = 1600 – 20Q _D y así sucesivamente.

Usando la curva de demanda residual, podemos encontrar la curva de ingreso marginal residual. Un atajo es duplicar la pendiente de la línea (porque la curva MR tiene el doble de la pendiente de la curva de demanda).

$$ \text{MR}=\text{1,700}\ -\ \text{40Q} _ \text{D} $$

Usando la condición MR = MC, obtenemos la producción que maximiza las ganancias para Dorne dada la producción de Reach de 15 toneladas de la siguiente manera:

$$ \text{1600}=\text{1700}\ -\ \text{40Q} _ \text{D} $$

$$ \text{Q} _ \text{D}=\text{2.5}\ $$

De manera similar, si la producción de Reach es de 20 toneladas, la producción óptima de Dorne es 0

$$ \text{1600}=\text{1600}\ -\ \text{40Q} _ \text{D} $$

$$ \text{Q} _ \text{D}=\text{0} $$

Muestra que la producción que maximiza las ganancias de Dorne cambia cuando cambia la producción de su rival. Pero Reach también enfrenta el mismo dilema y su producción maximizadora de ganancias cambia cuando cambia la producción de Dorne.

Curva de reacción o curva de mejor respuesta

Una curva de reacción (o curva de mejor respuesta) es un gráfico que muestra la producción que maximiza las ganancias de una empresa en un duopolio dada la producción de la otra empresa. Podemos obtener la curva de reacción de una empresa utilizando la condición MR _R = MC _R.

$$ \text{1500}=\text{2000}-\text{40Q} _ \text{R}\ -\ \text{20Q} _ \text{D} $$

$$ \text{Q} _ \text{R}=\text{12.5}\ -\ \text{0.5Q} _ \text{D} $$

La ecuación anterior expresa la salida de Reach en términos de salida de Dorne. Muestra que tanto QR _como Q _D están inversamente relacionados. Si Dorne aumenta la producción, Reach debe disminuir la suya.

Usando los mismos pasos, es decir, MR _D = MC _D , podemos encontrar que la producción que maximiza las ganancias para Dorne:

$$ \text{1600}=\text{2000}-\text{20Q} _ \text{R}\ -\ \text{40Q} _ \text{D} $$

$$ \text{Q} _ \text{D}=\text{10}\ -\ \text{0.5Q} _ \text{R} $$

Si conectamos diferentes valores de Q _R , obtenemos los siguientes valores de Q _D :

Esta tabla muestra la salida de Dorne dada la salida de Reach. Si graficamos estos datos, obtenemos la curva de reacción de Dorne.

Podemos crear una tabla similar para Reach (dada la salida de Dorne). Si graficamos ambas series de datos, obtenemos el siguiente gráfico:

Equilibrio de Cournot

El equilibrio de Cournot es el nivel de producción en el que todas las empresas de un oligopolio no tienen incentivos para cambiar su producción. Es el punto de intersección de las curvas de mejor respuesta de los rivales en un duopolio.

Dado que ambas empresas deben tomar la decisión de producción simultáneamente, podemos encontrar el equilibrio resolviendo las curvas de reacción de ambas empresas.

Sustituyendo el valor de QR de la curva de reacción de Reach en la curva de reacción de Dorne, obtenemos:

$$ \text{Q} _ \text{D}=\text{10}\ -\ \text{0.5}\times(\text{12.5}\ -\ \text{0.5Q} _ \text{D} ) $$

$$ \text{Q} _ \text{D}=\text{10}\ -\ \text{6.25}\ +\ \text{0.25Q} _ \text{D} $$

$$ \text{Q} _ \text{D}=\text{5} $$

Sustituyendo QD en la curva de reacción por Dorne, encontramos que QR es 10.

$$ \text{Q} _ \text{R}=\text{12.5}\ -\ \text{0.5}\times\text{5}=\text{10} $$

El precio del oligopolio que corresponde al equilibrio de Cournot es 1.666,8.

$$ \text{P}=\text{2000}-\text{20}\times\left(\text{5}+\text{10}\right)=\text{1700} $$

Comparación: Cournot vs Bertrand vs Colusión

El equilibrio de Cournot nos dice que un oligopolio que produce productos idénticos y que compite en función de la producción producirá una producción mayor que un monopolio pero menor que un oligopolio de Bertrand. Cobrará un precio más bajo que un monopolio pero un precio más alto que un oligopolio de Bertrand.

El modelo de Cournot también nos dice que una empresa en un oligopolio con un costo marginal más bajo producirá una mayor producción y tendrá una mayor participación de mercado. Esto es evidente en el ejemplo anterior: Reach tiene un costo marginal más bajo y una mayor participación en la producción en el equilibrio de Cournot.