Modelo BlackScholes

El modelo de fijación de precios de opciones de Black-Scholes (también llamado modelo de Black-Scholes-Merton) valora una opción de compra o venta de estilo europeo en función del precio actual del subyacente (activo), el precio de ejercicio de la opción, la volatilidad del subyacente, el tiempo de la opción para vencimiento y la tasa de rendimiento anual libre de riesgo.

El modelo de Black-Scholes valora una opción de compra ponderando el precio actual del activo subyacente con la probabilidad de que el precio de la acción sea más alto que el precio de ejercicio y restando el valor presente ponderado por probabilidad del precio de ejercicio.

El valor de una opción de compra al vencimiento es igual al precio al contado del activo subyacente menos su precio de ejercicio (también llamado precio de ejercicio), es decir, al cual la opción le da derecho a comprar el activo subyacente. Esto se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera:

$$ \text{C}=\text{S}-\text{X} $$

Donde C es el valor de la opción de compra (todas denominadas prima de compra), S es el precio al contado del subyacente y X es el precio de ejercicio. En cualquier momento antes del vencimiento, el valor de la opción de compra es igual al precio actual de la acción menos el valor actual del precio de ejercicio, esto se puede expresar de la siguiente manera:

$$ \text{C}=\text{S}-\frac{\text{X}}{(\text{1}+\text{r})^\text{t}} $$

Donde r es la tasa de interés libre de riesgo y t es el tiempo hasta el vencimiento.

La expresión anterior nos da el valor de la llamada en un escenario estático, es decir, en un escenario en el que sabemos que ejerceremos o no la opción. Si queremos saber el valor de una opción de compra en función de nuestra expectativa, podemos escribir la siguiente expresión cruda de flujos de entrada y salida de efectivo ponderados por probabilidad:

$$ \text{C}=\text{S}\times \text{p}\ -\frac{\text{X}}{(\text{1}+\text{r})^\text{t }}\veces \text{p} $$

Donde p es la probabilidad.

Fórmula

La fórmula de Black-Scholes es una forma refinada de la expresión anterior. Dado el precio de la acción S, el precio de ejercicio X, la tasa libre de riesgo anual r, el tiempo hasta el vencimiento t y la desviación estándar anual del rendimiento del activo subyacente σ, podemos determinar el valor de la opción de compra utilizando la siguiente fórmula:

$$ \text{C}=\text{S}\times \text{N}(\text{d} _ \text{1})\ -\text{Xe}^{-\text{rt}}\ veces \text{N}(\text{d} _ \text{2}) $$

Donde N(d ₁ ) y N(d ₂ ) representan la probabilidad de distribución normal estandarizada de que una variable aleatoria sea menor que d ₁ y d ₂ respectivamente cuando d ₁ y d ₂ están dadas por la siguiente ecuación:

$$ \text{d} _ \text{1}=\frac{\ln{\frac{\text{S}}{\text{X}}+(\text{r}+}\frac{\sigma ^\text{2}}{\text{2}})\veces \text{t}}{\sqrt{\sigma^\text{2}\veces \text{t}}} $$

$$ \text{d} _ \text{2}=\frac{\ln{\frac{\text{S}}{\text{X}}+(\text{r}-}\frac{\sigma ^\text{2}}{\text{2}})\veces \text{t}}{\sqrt{\sigma^\text{2}\veces \text{t}}} $$

N(d ₁ ) y N(d ₂ ) representan aproximadamente la probabilidad de que el precio de ejercicio de la opción sea más alto que el precio actual de las acciones y, por lo tanto, la opción estará dentro del dinero y, por lo tanto, será valiosa.

La fórmula de la opción Black-Scholes también se puede utilizar para estimar la volatilidad implícita en función de las primas de llamada actuales.

Ejemplo

Una opción de compra a 6 meses con un precio de ejercicio de $50 sobre una acción que cotiza a $52 cuesta $4,5. Determine si debe comprar la opción si la tasa libre de riesgo anual es del 5 % y la desviación estándar anual de los rendimientos de las acciones es del 12 %.

Necesitamos determinar el valor de la opción de compra utilizando el modelo de precios de opciones de Black-Scholes y luego compararlo con el precio actual de la opción y comprar la opción si tiene un precio justo.

Primero necesitamos encontrar d ₁ y d ₂ :

$$ \text{d} _ \text{1}=\frac{\ln{\frac{\text{60}}{\text{50}}+(\text{5%}+}\frac{{ \text{12%}}^\text{2}}{\text{2}})\times\text{0.5}}{\sqrt{{\text{12%}}^\text{2}\times \text{0.5}}}=\ \text{0.7993} $$

$$ \text{d} _ \text{2}=\frac{\ln{\frac{\text{60}}{\text{50}}+(\text{5%}-}\frac{{ \text{12%}}^\text{2}}{\text{2}})\times\text{0.5}}{\sqrt{{\text{12%}}^\text{2}\times \text{0.5}}}\ =\ \text{0.7144}\ $$

A continuación, podemos encontrar la probabilidad de distribución normal estandarizada usando la función DISTR.NORM.ESTANDA de Microsoft Excel. N(d ₁ ) y N(d ₂ ) equivalen a 0,7879 y 0,7625 respectivamente.

Una vez que tenemos N(d ₁ ) y N(d ₂ ), podemos sustituir los números relevantes en la fórmula de Black-Scholes:

C = 52×0.7879 − 50×e ^-0.05×0.5 ×0.7625

C = $3.788

El valor de la opción según el modelo es inferior a la prima de las opciones de compra actualmente negociadas. Puede ser porque la opción está sobrevaluada o porque nuestra estimación de la volatilidad es menor.

Si tenemos el valor actual de la prima de rescate C, el precio de las acciones S, el precio de ejercicio X, el tiempo hasta el vencimiento t y la tasa libre de riesgo r, podemos trabajar hacia atrás para encontrar la volatilidad implícita . En el ejemplo anterior, la estimación de mercado de la desviación estándar anual del rendimiento basada en la prima de rescate de $4,5 es 18,06%. Se puede resolver utilizando la herramienta de búsqueda de objetivos de Excel.