Interés compuesto

El interés compuesto es un método en el que el interés se calcula sobre la base del principal más cualquier interés ya acumulado. Esto da como resultado un gasto/ingreso por intereses cada vez mayor.

Supongamos que presta $100 000 el 1 de enero de 20X7 pagando un interés del 6 % compuesto semestralmente (es decir, dos veces en un año). Su gasto por intereses durante los primeros seis meses es de $3,000 (=$100,000 × 6% × 1/2). Dado que el interés es compuesto, el saldo del préstamo para el cálculo del interés en los próximos seis meses (es decir, la segunda mitad del año) es igual a $103 000 (principal inicial de $100 000 más intereses en el período anterior de $3000). Por lo tanto, el gasto por intereses para los próximos seis meses, es decir, desde el 1 de julio de 2017 hasta el 31 de diciembre de 2017, será de $3,090 (= $103,000 × 6% × 1/2). El gasto por intereses en los seis meses del 1 de enero de 2018 al 30 de junio de 2017 será de $3,183 y así sucesivamente.

Fórmula

Si P es el valor de un préstamo en el momento 0 y r es la tasa de interés periódica, el gasto por intereses para el primer año es el siguiente:

Gasto por intereses (primer período)
= P × r

El valor en libros del préstamo para el próximo período es la suma del principal inicial P y los intereses del primer período:

Saldo del préstamo (1er período)
= P + P × r
= P × (1 + r)

El gasto por intereses para el segundo período se calcula aplicando la tasa de interés al saldo inicial del préstamo (incluidos los intereses del primer período):

Gasto por intereses (segundo período)
= P × (1 + r) × r

Por lo tanto, el saldo del préstamo al final del segundo período es:

Saldo del préstamo (segundo período)
= P × (1 + r) + P × (1 + r) × r
= P × (1 + r) × 1 + P × (1 + r) × r
= P × (1 + r) × (1 + r)
= PAG × (1 + r) ²

Esto se puede generalizar de la siguiente manera:

Valor futuro (interés compuesto) = P × (1 + r) ⁿ

Cuando haya más de un período de capitalización en un año, la fórmula puede modificarse de la siguiente manera:

Valor futuro (interés compuesto)
= P × (1 + i/m) ^(m×n)

Donde el valor futuro es el valor del préstamo/inversión incluyendo todo el interés compuesto, i es la tasa de porcentaje anual, m son los períodos de capitalización por año y n es el número de años.

El principio a recordar es que el período de tiempo debe expresarse en las mismas unidades para las que se incluye la tasa de interés en la fórmula.

Podemos reorganizar la ecuación anterior para obtener una fórmula para el valor actual.

Mientras que un préstamo o inversión con interés simple crece linealmente, crece exponencialmente con el método de interés compuesto.

Ejemplo

Tom tiene un amigo, Jerry, que es alérgico a los bancos pero, sin embargo, le gusta la idea de ganar una cantidad fija garantizada cada período con sus ahorros. Le dio a Tom $50,000 el 1 de enero de 2011 por 5 años y Tom acordó pagar el 3% anual sin capitalización. Tom puso el dinero en un banco que paga 5% anual compuesto trimestralmente. Al final del quinto año, Tom le pagó a Jerry $57,500 calculados de la siguiente manera:

Pagadero a Jerry después de 5 años (interés simple) = $50 000 × (1 + 3 % × 5) = $57 500

Hizo $6.601,86 porque el valor de su inversión en el banco es $64.101,86, que es $6.601,86 superior a la cantidad pagadera a Jerry, es decir, $57.500.

Valor de la inversión de Tom después de 5 años
= $50 000 × (1 + 5 %/4) ^{(4 × 5)}
= 64 101,86

La primera ecuación es para el valor futuro bajo el método de interés simple y la segunda es para el valor futuro bajo el método de interés compuesto. Puede ver que dado que hay cuatro períodos de capitalización en un año, la tasa de interés utilizada en la ecuación para el valor futuro de la inversión es (5%/4).

Después de una semana, Tom recibe una carta de Jerry. Está enojado con Tom por engañarlo. Le dice a Tom que le pague intereses según el método de interés compuesto, de lo contrario lo demandará. Tom debe pagarle a Jerry $464 más porque el valor futuro de $50,000 que Jerry le dio a Tom con un interés compuesto inferior al 3% durante 5 años excede la cantidad inferior al 3% pagada con interés simple durante 5 años en $464.

Pagadero a Jerry (interés compuesto)
= $50,000 × (1 + 3%) ⁵
= $57,964

Monto adicional a pagar a Jerry
= $57,964 – $57,500
= $464.