función de beneficio

Una función de beneficio es una relación matemática entre el beneficio total y la producción de una empresa. Es igual al ingreso total menos los costos totales, y es máximo cuando el ingreso marginal de la empresa es igual a su costo marginal.

El beneficio de una empresa aumenta inicialmente con el aumento de la producción. Se debe a que el costo promedio de la empresa cae inicialmente debido a las economías de escala. Por ejemplo, a un nivel de producción más alto, la empresa puede aprovechar los descuentos por volumen, sus trabajadores se especializan en diferentes tareas, etc. Además, con el aumento de la producción, los costos fijos de la empresa se distribuyen entre más unidades, lo que hace que el costo fijo promedio disminuya. Sin embargo, el beneficio de la empresa finalmente comienza a caer cuando se activa la ley de rendimientos decrecientes. Dado que al menos un producto es fijo a corto plazo, el rendimiento del insumo variable cae a medida que aumentan sus unidades. Hace que el costo total promedio aumente y que la utilidad disminuya. Debido a este mecanismo, la curva de beneficios de la empresa es una parábola invertida, como se muestra en el siguiente gráfico.

Ejemplo

Consideremos una empresa cuyas funciones de ingreso total y costo total se dan a continuación:

$$ \text{TR}\ =\ \text{90Q}\ -\ \text{2Q}^\text{2} $$

$$ \text{TC}\ =\ \text{200}\ +\ \text{10Q}+\text{2Q}^\text{2} $$

Dado que el beneficio (π) se define como el ingreso total (TR) menos los costos totales (TC), la función de beneficio se puede escribir de la siguiente manera:

$$ \pi=\text{TR}\ – \text{TC} $$

$$ \pi=\text{90Q}\ -\ \text{2Q}^\text{2}\ – (\text{200} + \text{10Q}+\text{2Q}^\text{2} ) $$

Un poco de simplificación nos da esta ecuación:

$$ \pi=\text{80Q}\ -\ \text{4Q}^\text{2}\ – \text{200} $$

Gráficos de ingresos, costes y beneficios

Si insertamos diferentes valores de Q comenzando con 1, en la función de ingreso total, costo total y beneficio, obtenemos la siguiente tabla:

Si graficamos los datos anteriores, obtenemos las siguientes curvas:

Se llega a la curva de beneficio trazada arriba restando la curva de costo total de la curva de ingreso total. Comienza en un punto por debajo del eje x porque la empresa está teniendo pérdidas con una producción baja (porque incluso sus costos fijos no se recuperan). La curva inicialmente tiene una pendiente ascendente, alcanza un pico cuando la cantidad producida es 10 y luego comienza a caer. El beneficio se maximiza con una producción de 10.

Dado que la maximización del beneficio se produce en un punto en el que el ingreso marginal (IM) es igual al coste marginal (MC), podemos comprobar que efectivamente se maximiza en Q = 10 resolviendo las funciones de ingreso marginal y coste marginal (que se obtienen diferenciando el funciones de ingreso total y costo total con respecto a Q).

$$ \text{MC}\ =\ \text{4Q}\ +\ \text{10}=\text{MR}\ =\ \text{90}\ -\ \text{4Q} $$

$$ \text{4Q}\ +\ \text{4Q}=\text{90}\ – \text{10} $$

$$ \text{Q}=\text{10} $$