Equilibrio de Nash

El equilibrio de Nash es un resultado de un juego tal que ningún jugador puede ganar cambiando unilateralmente su estrategia. Se logra cuando cada jugador adopta la estrategia óptima dada la estrategia del otro jugador.

El equilibrio de Nash lleva el nombre de John Nash, un famoso teórico de juegos interpretado por Russel Crow en ‘A Beautiful Mind’.

La propiedad más importante del equilibrio de Nash es que se cumple a sí mismo. Es el resultado que dos jugadores racionales A y B deberían alcanzar en última instancia en un juego no cooperativo. El jugador A alcanza el equilibrio de Nash empleando una estrategia que es su mejor respuesta a la estrategia elegida por su oponente, el jugador B. Pero dado que el oponente, es decir, el jugador B, también elige una estrategia que le da el pago máximo dada la estrategia del jugador A, el juego gravita hacia un resultado inevitable. Este resultado se llama equilibrio de Nash.

Aunque lo mejor para cada jugador es adoptar una estrategia dictada por el equilibrio de Nash, no es necesario que el equilibrio de Nash maximice el pago combinado. El dilema del prisionero es un ejemplo clásico de este fenómeno.

Un equilibrio de Nash es estable porque ningún jugador puede mejorar su pago cambiando su estrategia.

Equilibrio de Nash vs estrategia dominante

Una estrategia dominante es un tipo de equilibrio de Nash.

Una estrategia dominante es una estrategia que da como resultado el mejor pago para un jugador sin importar lo que haga la otra empresa, pero un equilibrio de Nash representa una estrategia que maximiza el pago dado lo que haría el otro jugador. Un equilibrio de Nash está condicionado a la mejor estrategia del otro jugador, pero una estrategia dominante es incondicional. Alcanzamos un equilibrio de Nash asumiendo que el otro jugador es racional, pero podemos seguir una estrategia dominante sin pronosticar la estrategia esperada del oponente.

Un juego tiene un equilibrio de Nash incluso si no hay una estrategia dominante (ver el ejemplo a continuación). También es posible que un juego tenga múltiples equilibrios de Nash.

Encontrar el equilibrio de Nash

Las siguientes reglas son útiles para identificar el equilibrio de Nash de un juego.

• Si ambos jugadores tienen estrategias dominantes, es decir, estrategias que les dan la mejor recompensa sin importar lo que haga el otro jugador, la celda en la que se cruzan las estrategias dominantes de ambos jugadores es el equilibrio de Nash.
• Si un jugador tiene una estrategia dominante, la celda en la fila o columna de la estrategia dominante en la que el otro jugador tiene el pago máximo es el equilibrio de Nash.
• Si ninguna empresa tiene una estrategia dominante, identifique las estrategias dominadas y táchelas. Identifique los pagos máximos para cada jugador en cada fila y columna y colóqueles marcas de verificación. Las celdas en las que se verifican ambos pagos muestran los posibles equilibrios de Nash.

Ejemplo

Consideremos dos empresas A y B que deben decidir sobre su presupuesto de publicidad. La siguiente matriz de pagos muestra el aumento neto en las ganancias de cada empresa bajo diferentes escenarios:

Hay una estrategia dominante en este juego para la empresa A, es decir, hacer publicidad. Es porque el pago máximo para el jugador de fila en todas las columnas ocurre en la última fila.

La empresa B no tiene una estrategia dominante porque su pago máximo no ocurre en la misma columna. Cuando la empresa A recorta su presupuesto de publicidad, el beneficio máximo de la empresa B se produce cuando también lo hace. De manera similar, cuando la empresa A no cambia su presupuesto publicitario, la empresa B lo hace mejor recortando su publicidad. Pero si la empresa A aumenta su gasto en publicidad, la mejor estrategia de la empresa B es no cambiar su presupuesto publicitario actual.

Tampoco existe una estrategia dominada para la empresa B porque no hay columna en la que su pago sea siempre peor.

Usando las reglas discutidas anteriormente, sabemos que el equilibrio de Nash debe existir en la última fila, es decir, la estrategia dominante de la empresa A. En otras palabras, el equilibrio de Nash en este juego ocurriría cuando la empresa A haga publicidad. Dado este hecho, necesitamos encontrar qué celda nos da el pago máximo para la empresa B en la última fila. Es la segunda columna la que representa que la empresa B no cambia su presupuesto de publicidad. Por lo tanto, la fila 3 y la columna 2 muestran un equilibrio de Nash porque:

• La empresa A no tiene incentivos para cambiar su estrategia porque aumentar la publicidad es su estrategia dominante.
• Dado que la empresa A anunciará en cualquier caso, la mejor respuesta de la empresa B es no cambiar su presupuesto porque esto le da la máxima rentabilidad. Si la empresa B recorta su presupuesto de publicidad o lo aumenta, su beneficio se reducirá a $20 millones en cada caso, lo que es peor que $50 millones.