Duración modificada

La duración modificada es una medida de la sensibilidad del precio de un bono a los cambios en su rendimiento al vencimiento. Se calcula dividiendo la duración del bono de Macaulay por un factor de (1 + y/m) donde y es el rendimiento anual al vencimiento y m es el número total de pagos de cupón por período.

La duración es una medida del riesgo de tasa de interés de un bono, el riesgo de disminución en el precio del bono debido al aumento en las tasas de interés del mercado. En general, el grado en que se mueve el precio del bono debido a un cambio en el rendimiento, es decir, la tasa de interés, es directamente proporcional al tiempo hasta el vencimiento. Significa que cuanto más se estiran los flujos de efectivo de los bonos, más pronunciado es el movimiento de precios. La duración de Macaulay mide el tiempo promedio ponderado hasta que los bonos fluyen. La duración modificada ajusta la duración de Macaulay para que pueda usarse para estimar el movimiento del precio dado un cambio en el rendimiento.

La duración modificada mide el cambio en el precio asumiendo que el cambio en el precio por un aumento o disminución en el rendimiento es el mismo, lo cual no es el caso en la realidad. El cambio en el precio del bono con referencia al cambio en el rendimiento es de naturaleza convexa. Se necesita un ajuste de convexidad para mejorar la estimación del cambio en el precio.

Fórmula

Si el valor de duración de Macaulay está disponible, la duración modificada se puede calcular fácilmente usando la siguiente fórmula:

$$ \text{Duración modificada}=\frac{\text{Duración Macaulay}}{(\text{1}+\frac{\text{y}}{\text{m}})} $$

Donde y es el rendimiento anual al vencimiento y m es el número de períodos de capitalización por año.

La duración de Macaulay se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

$$ \text{Duración Macaualy}=\frac{{\text{PV}} _ \text{1}}{\text{PV}}\times \text{T} _ \text{1}+\frac{ {\text{PV}} _ \text{2}}{\text{PV}}\times \text{T} _ \text{2}+\text{…}+\frac{{\text{ PV}} _ \text{n}}{\text{PV}}\times \text{T} _ \text{n} $$

Donde PV ₁ , PV ₂ y PV _n se refieren al valor presente de los flujos de efectivo que ocurren T ₁ , T ₂ y T _n años en el futuro y PV es el precio del bono, es decir, la suma del valor presente de todos los flujos de efectivo del bono en el tiempo 0.

La unidad de duración de Macaulay y la duración modificada es la misma que las unidades en las que se ingresan los vencimientos. Por ejemplo, si ingresamos el período de tiempo en meses, obtenemos la duración mensual, que se puede anualizar mediante una simple multiplicación por 12.

Duración aproximada modificada

La duración modificada aproximada se puede estimar tomando la diferencia entre el precio cuando las tasas de interés aumentan y el precio cuando las tasas de interés disminuyen dividido por 2 veces el producto del cambio en el rendimiento y el precio base:

$$ \text{Duración aproximada modificada}=\frac{\text{P} _ \text{d}-\text{P} _ \text{i}}{\text{2}\times \text{P} _ \text{0}\times \text{deltaY}} $$

Donde P _d es el precio después de una disminución en el rendimiento, P _i es el precio después de un aumento en el rendimiento, P ₀ es el precio base, es decir, antes de cualquier aumento o disminución en el rendimiento y deltaY es el cambio en el rendimiento.

Dado un valor de duración modificado, se puede calcular un cambio aproximado en el precio del bono dado un cambio en el rendimiento utilizando la siguiente fórmula:

$$ \text{%\ Cambio en el precio del bono}=-\text{D}\times \text{deltaY} $$

Donde deltaY es el cambio en el rendimiento.

Ejemplo

Usted tiene un bono de cupón anual del 6% con valor nominal de $1,000 que vence en 2 años con un rendimiento del 6.2%. Calcule la duración modificada del bono y el cambio porcentual esperado en el precio del bono dada una disminución del 0,5% en el rendimiento.

Primero necesitamos calcular la duración de Macaulay, que es el vencimiento promedio de los flujos de efectivo del bono ponderados en función de su contribución relevante al valor presente del bono.

$$ \text{Duración de Macaualy}=\frac{\frac{\text{\$60}}{{(\text{1}+\text{6.2%})}^\text{1}}}{\frac {\text{\$60}}{{(\text{1}+\text{6,2 %})}^\text{1}}+\frac{\text{\$1000}+\text{\$60}} {{(\text{1}+\text{6,2 %})}^\text{2}}}\times\text{1}+\frac{\frac{\text{\$1000}+\text{\ $60}}{{(\text{1}+\text{6,2 %})}^\text{2}}}{\frac{\text{\$60}}{{(\text{1}+\text {6,2 %})}^\text{1}}+\frac{\text{\$1000}+\text{\$60}}{{(\text{1}+\text{6,2 %})}^\ texto{2}}}\veces\texto{2}=\texto{1,94} $$

La duración modificada es igual a la duración de Macaulay dividida por (1 + y/m):

$$ \text{Duración modificada}=\frac{\text{1,94}}{(\text{1}+\frac{\text{6,2%}}{\text{1}})}=\text{1,83 } $$

La duración modificada funciona en 1,83, lo que significa que los precios de los bonos aumentan (disminuyen) en un 1,83 % dada una disminución (aumento) del 1 % en el precio de los bonos.

El cambio porcentual del precio del bono ante una disminución del 0,5 % en el rendimiento equivale al 0,915 % (es decir, -1,83 × (-0,5 %)).

Debilidad de la duración modificada

Si bien la duración modificada es mejor que la duración de Macaulay, tiene algunas debilidades graves:

• Supuso que el precio del bono cambia por igual para cualquier aumento o disminución en el rendimiento, lo cual no es el caso. Se necesita ajuste de convexidad.
• t mide la sensibilidad con referencia al rendimiento al vencimiento y no a la estructura general de la curva de rendimiento. La duración efectiva es una mejor medida que la duración modificada.