Derivación de la fórmula DOL

El grado de apalancamiento operativo se define como el cambio porcentual en la utilidad operativa que ocurre en respuesta a un cambio porcentual en las ventas.

Las siguientes son las fórmulas más comunes utilizadas para calcular el grado de apalancamiento operativo:

$$ {\text{DOL}}^\text{1}\ =\ \frac{\text{Q}\times(\text{P}\ -\ \text{V})}{\text{Q} \times(\text{P}\ -\ \text{V})\ -\ \text{FC}} $$

$$ {\text{DOL}}^\text{2}\ =\ \frac{\text{Margen de contribución}}{\text{Ingresos operativos}} $$

$$ {\text{DOL}}^\text{3}\ =\frac{\text{Coeficiente de margen de contribución}}{\text{%\ Margen operativo}} $$

En los siguientes párrafos, derivaremos las fórmulas mencionadas anteriormente utilizando la definición básica del grado de apalancamiento operativo:

$$ \text{DOL}\ =\ \frac{\text{%\ Cambio en la utilidad operativa}}{\text{%\ Cambio en las ventas}} $$

El cambio porcentual en el ingreso operativo es igual al cambio en el ingreso operativo dividido por el ingreso operativo inicial.

$$ \text{%\ Cambio en la utilidad operativa}\ =\frac{\Delta \text{OI}}{\text{OI}} $$

De manera similar, el cambio porcentual en las ventas es igual al cambio en las ventas dividido por las ventas iniciales.

$$ \text{%\ Cambio en Ventas}\ =\frac{\Delta \text{S}}{\text{S}} $$

La fórmula básica para DOL se puede escribir de la siguiente manera:

$$ \text{DOL}\ =\frac{\Delta \text{OI}}{\text{OI}}÷\frac{\Delta \text{S}}{\text{S}}=\frac{ \Delta \text{OI}}{\Delta \text{S}}\times \frac{\text{S}}{\text{OI}} $$

Donde

∆OI es el cambio en el ingreso operativo que es igual al cambio en la cantidad (∆Q) multiplicado por el margen de contribución por unidad (es decir, precio P – costo variable por unidad V). Dado que el costo fijo es el mismo en ambos casos, no tiene en cuenta la fórmula:

$$ \Delta \text{OI} = \Delta \text{Q}\times (\text{P} – \text{V}) $$

∆S es el cambio en las ventas que es igual a la cantidad de cambio (∆Q) multiplicada por el precio P:

$$ \Delta \text{S} = \Delta \text{Q}\times \text{P} $$

Ventas S es igual a la producción de cantidad Q y precio P:

$$ \text{S}=\text{Q}\times \text{P} $$

La utilidad operativa OI es igual al margen de contribución menos los costos fijos:

$$ \text{OI}\ =\ \text{Q}\times(\text{P}\ -\ \text{V})-\text{FC} $$

Sustituyendo estas ecuaciones en la fórmula de DOL y cancelando las expresiones comunes, obtenemos otra expresión para la primera fórmula del grado de apalancamiento operativo DOL1:

$$ \text{DOL}\ =\frac{\Delta \text{Q}\times (\text{P} – \text{V})}{\Delta \text{Q} \times \text{P} }\times \frac{\text{Q}\times \text{P}}{\text{Q}\times (\text{P} – \text{V}) – \text{FC}} $$

$$ \text{DOL}\ =\ \frac{\text{Q}\times(\text{P}\ -\ \text{V})}{\text{Q}\times(\text{P} \ -\ \text{V})\ -\ \text{FC}} $$

El numerador en la expresión anterior es igual al margen de contribución total y el denominador es igual al ingreso operativo total. Esto nos da la segunda fórmula para el grado de apalancamiento operativo DOL2:

$$ \text{DOL}\ =\ \frac{\text{Margen de contribución}}{\text{Ingresos operativos}} $$

Dividir y multiplicar el lado derecho de la ecuación anterior por las ventas nos da otra ecuación para DOL:

$$ DOL\ =\ \frac{Contribución\ Margen}{Ingreso\ operativo}\times\frac{Ventas}{Ventas}=\frac{\frac{Contribución\ Margen}{Ventas}}{\frac{Ingreso\ operativo } {Ventas}} $$

El margen de contribución dividido por las ventas es igual al índice de margen de contribución y la utilidad de operación dividida por las ventas es igual al porcentaje de utilidad de operación. Esto nos da la tercera fórmula para el grado de apalancamiento operativo DOL3:

$$ {\text{DOL}}^\text{3}=\frac{\text{Coeficiente de margen de contribución}}{\text{%\ Margen operativo}} $$