covarianza

La covarianza mide la medida en que dos variables, por ejemplo, x e y, se mueven juntas. Una covarianza positiva significa que las variables se mueven en tándem y un valor negativo indica que las variables tienen una relación inversa. Mientras que la covarianza puede indicar la dirección de la relación, el coeficiente de correlación es una mejor medida de la fuerza de la relación.

La covarianza es una entrada importante en la estimación de los beneficios de la diversificación y la optimización de la cartera, el cálculo del coeficiente beta, etc.

En el cálculo manual de la covarianza, están involucrados los siguientes pasos:

• Calcule la media de cada variable, es decir, _µx y _µx ,
• Encuentre la desviación de cada valor de x e y de sus respectivas medias, es decir, (x _i – µ _x ) y (y _i – µ _y )
• Multiplique la desviación de x correspondiente a la desviación de y, es decir (x _i – µ _x ) × (y _i – µ _y )
• Sumar todos los productos de las desviaciones
• Divida por el número total de observaciones N.

Fórmula

La siguiente ecuación describe la relación:

$$ \text{Cov}(\text{x} \text{,} \text{y})=\sum _ {\text{i}}^{\text{N}}\frac{(\text{ x}\ -\ \mu _ \text{x})(\text{y}\ -\ \mu _ \text{y})}{\text{N}} $$

La covarianza también se puede calcular utilizando las funciones COVAR, COVARIANCE.P y COVARIANCE.S de Excel.

Si conocemos el coeficiente de correlación, podemos calcular la covarianza indirectamente de la siguiente manera:

$$ \text{Cov}(\text{x} \text{,} \text{y})=\rho\times\sigma _ \text{x}\times\sigma _ \text{y} $$

Donde ρ es el coeficiente de correlación, \sigma x es la desviación estándar de x y \sigma y es la desviación estándar de y.

Ejemplo

Calculemos la covarianza usando el mismo conjunto de datos que en el coeficiente de correlación.

El siguiente conjunto de datos muestra los precios de cierre mensuales de SPDR Oil & Gas Exploration and Production ETF (diseñado como y) y Brent Crude (diseñado como x):

$$ \text{Media} \text{de} \text{x} = \ \mu _ \text{x} = \text{63,83} $$

$$ \text{Media} \text{de} \text{y} = \ \mu _ \text{y} = \text{45,34} $$

$$ \text{Suma de productos de desviaciones} = (\text{x}\ -\ \mu _ \text{x})(\text{y}\ -\ \mu _ \text{y}) = \ texto{16,467} $$

$$ \text{Cov}(\text{x} \text{,} \text{y})=\sum _ {\text{i}}^{\text{N}}{\frac{\text{ 16.467}}{\texto{48}}=\texto{343,06}} $$

La covarianza de SPDR XOP ETF con Brent Crude es positiva, lo que indica que ambos se mueven juntos. Sin embargo, no podemos decir de manera concluyente qué tan fuerte es la relación porque el valor de la covarianza depende de las unidades utilizadas. El coeficiente de correlación es una mejor medida que da como resultado 0,93 para el conjunto de datos dado. Podemos llegar al valor de la covarianza si tenemos el valor del coeficiente de correlación y las desviaciones estándar individuales de xey, que son 23,63 y 15,87 respectivamente.

$$ \text{Cov}(\text{x} \text{,} \text{y})=\text{0,93}\times\text{23,63}\times\text{15,87}=\text{343} $$