Convexidad de enlace

La convexidad de un bono es el fenómeno que hace que el aumento en el precio del bono debido a una disminución en las tasas de interés sea mayor que la disminución en el precio del bono debido a un aumento en las tasas de interés. Representa el cambio en la duración que ocurre debido al cambio en el rendimiento de los bonos. Una alta convexidad significa una mayor sensibilidad del precio de los bonos a los cambios en las tasas de interés.

El valor intrínseco de un bono es igual al valor actual de sus flujos de efectivo futuros, es decir, los pagos de cupones y el valor de vencimiento. La siguiente ecuación expresa matemáticamente la relación:

$$ \text{P}=\frac{\text{c}}{\text{m}}\times \text{F}\times\frac{\text{1}-{(\text{1}+ \frac{\text{r}}{\text{m}})}^{-\text{n}\times \text{m}}}{\frac{\text{r}}{\text{m }}}+\frac{\text{F}}{{(\text{1}+\frac{\text{r}}{\text{m}})}^{\text{n}\times \ texto{m}}} $$

Donde P es el precio actual del bono, c es la tasa de cupón anual, F es el valor nominal del bono, r es el rendimiento anual del bono, m es el número de pagos de cupón por año y n es el total de años a la madurez

De la ecuación anterior se deduce que el precio del bono P cae con el aumento de la tasa de interés de mercado r y viceversa.

Supongamos que tiene un bono de valor nominal de $ 1,000 a 10 años que paga una tasa de cupón del 5% dos veces al año. Si la tasa de interés del mercado es igual a la tasa del cupón, es decir, el 5 %, el precio del bono es exactamente igual al valor nominal, como se ilustra a continuación:

$$ \text{P} _ \text{0}=\frac{\text{5%}}{\text{2}}\times\text{\$1000}\times\frac{\text{1}- {(\text{1}+\frac{\text{5%}}{\text{2}})}^{-\text{10}\times\text{2}}}{\frac{\text {5%}}{\text{2}}}+\frac{\text{\$1000}}{{(\text{1}+\frac{\text{5%}}{\text{2}} )}^{\text{10}\times\text{2}}}=\text{\$1000} $$

Si las tasas de interés del mercado caen al 4,8 %, el precio del nuevo bono será de $1.015,74, lo que representa un cambio del 1,57 %, como se muestra a continuación:

$$ \text{P} _ \text{d}=\frac{\text{4,8 %}}{\text{2}}\times\text{\$1000}\times\frac{\text{1}- {(\text{1}+\frac{\text{4,8%}}{\text{2}})}^{-\text{10}\times\text{2}}}{\frac{\text {4,8 %}}{\text{2}}}+\frac{\text{\$1000}}{{(\text{1}+\frac{\text{4,8 %}}{\text{2}} )}^{\text{10}\times\text{2}}}=\text{\$1015,74} $$

Sin embargo, si las tasas de interés aumentan en la misma magnitud, es decir, del 0,2 % al 5,2 %, el precio del bono cae a $984,56, lo que representa una disminución del 1,54 % del valor nominal:

$$ \text{P} _ \text{i}=\frac{\text{5,2 %}}{\text{2}}\times\text{\$1000}\times\frac{\text{1}- {(\text{1}+\frac{\text{5,2%}}{\text{2}})}^{-\text{10}\times\text{2}}}{\frac{\text {5,2 %}}{\text{2}}}+\frac{\text{\$1000}}{{(\text{1}+\frac{\text{5,2 %}}{\text{2}} )}^{\text{10}\times\text{2}}}=\text{\$984,56} $$

La siguiente tabla muestra el precio del bono a diferentes tasas de interés de mercado:

Si graficamos el precio del bono frente a las tasas de interés del mercado, obtenemos el siguiente gráfico:

Como puede ver, el gráfico es curvo, lo que muestra que la tasa de cambio en el precio es diferente en diferentes puntos del gráfico. Esto se llama convexidad.

Fórmula

La fórmula general para la convexidad es la siguiente:

$$ \text{Convexidad}=\frac{\text{1}}{\text{P}\times{(\text{1}+\text{y})}^\text{2}}\times\ suma _ {\text{t}=\text{1}}^{\text{n}}\frac{{\rm \text{CF}} _ \text{n}\times \text{t}\times (\text{1}+\text{t})}{{(\text{1}+\text{y})}^\text{n}} $$

Donde P es el precio del bono, y es el rendimiento, CF _n es el enésimo flujo de caja del bono, t es la diferencia de tiempo entre el tiempo 0 y el flujo de caja.

La convexidad efectiva se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

$$ \text{Convexidad Efectiva}=\frac{\text{P} _ \text{i}+\text{P} _ \text{d}-\text{2P} _ \text{0}}{\ texto{2}\times \text{P} _ \text{0}\times{\text{deltaY}}^\text{2}} $$

Donde P _i es el precio del bono después del aumento en la tasa de interés, P _d es el precio del bono después de una disminución en la tasa de interés, P ₀ es el precio del bono cuando el rendimiento es igual a la tasa del cupón y deltaY es el cambio en el rendimiento.

El cambio porcentual en el precio de un bono se puede estimar mediante una combinación de duración modificada y la convexidad del bono de la siguiente manera:

$$ \text{Cambio en el precio del bono}=-\text{D}\times \text{deltaY}+\frac{{\text{deltaY}}^\text{2}}{\text{2}}\ veces \text{Convexidad} $$

Ejemplo

Si la duración del bono discutido anteriormente es 7.8, el precio del bono aumenta a $1,172 después de una disminución del 2% en el rendimiento del bono y disminuye a $858 después de un aumento del 2% en el rendimiento, calcule el cambio en el precio del bono que ocurrirá después de un aumento del 1% en el rendimiento de los bonos.

Primero necesitamos calcular la convexidad del enlace usando la siguiente fórmula de aproximación:

$$ \text{Convexidad efectiva}=\frac{\text{\$858}+\text{\$1172}-\text{2}\times\text{\$1000}}{\text{2}\times\text {\$1,000}\times{\text{0.2%}}^\text{2}}=\text{37.5} $$

Podemos calcular el cambio aproximado en el precio del bono si las tasas de interés aumentan un 1% usando la siguiente fórmula:

$$ \text{Cambio en el precio del bono}=-\text{7.8}\times\text{1%}+\frac{{\text{1%}}^\text{2}}{\text{2} }\times\text{37.5}=-\text{7.61%} $$

Con base en el porcentaje anterior, el precio esperado del bono después de 1 aumento en el rendimiento (del 5% al ​​6%) es de $924 (=$1,000 × (1 – 7.61%)). Mirando la tabla anterior de los precios de los bonos a diferentes tasas, puede ver que el precio del bono equivalente al 6% de rendimiento es de $926.