Cantidad económica de pedido (EOQ)

La cantidad económica de pedido (EOQ) es el tamaño del pedido que minimiza la suma de los costos de mantenimiento y los costos de pedido de los inventarios de una empresa.

Los dos costos de administración de inventario más significativos son los costos de ordenar y los costos de mantenimiento. Los costos de pedido son costos incurridos al colocar y recibir un nuevo envío de inventarios. Estos incluyen costos de comunicación, costos de transporte, costos de seguro de tránsito, costos de inspección, costos de contabilidad, etc. Los costos de transporte representan los costos incurridos al mantener el inventario disponible. Estos incluyen el costo de oportunidad del dinero retenido en los inventarios, los costos de almacenamiento, como el alquiler del almacén, el seguro, los costos de deterioro, etc.

Los costos de pedido y los costos de transporte son de naturaleza opuesta. Para minimizar sus costos de mantenimiento de inventario, una empresa debe realizar pedidos pequeños. Pero el tamaño de pedido pequeño significa que la empresa debe realizar más pedidos, lo que aumenta sus costos totales de pedido. De manera similar, si una empresa desea reducir sus costos de pedidos, debe reducir la cantidad de pedidos realizados, lo que solo es posible cuando el tamaño del pedido es grande. Pero el aumento en el tamaño del pedido significa que el saldo de inventario promedio disponible será alto, lo que aumenta los costos totales de mantenimiento para el período.

En lugar de enfocarse en los costos de ordenar o mantener los costos individualmente, una empresa debe intentar reducir la suma de estos costos. El modelo de cantidad económica de pedido (EOQ) hace precisamente eso.

Fórmula

EOQ se puede determinar usando la siguiente ecuación:

$$ \text{EOQ}\ =\sqrt{\frac{\text{2}\times \text{D}\times \text{O}}{\text{C}}} $$

Donde D es la demanda anual (en unidades), O es el costo por pedido y C es el costo de mantenimiento anual por unidad.

Comprender las matemáticas

La fórmula EOQ se puede derivar de la siguiente manera:

PASO 1: Los costos totales de inventario son la suma de los costos de pedido y los costos de mantenimiento:

$$ \text{Costos totales de inventario}\ =\ \text{Costos de pedido}\ +\ \text{Costos de mantenimiento} $$

PASO 2: El número de pedidos N en un período sería igual a la demanda anual D dividida por el tamaño del pedido Q y el costo total del pedido sería el producto del costo por pedido O y el número de pedidos N. Esto se puede escribir de la siguiente manera:

$$ \text{Costos de pedido}\ =\text{O}\times \text{N} $$

$$ \text{Costos de pedido}\ =\text{O}\times\frac{\text{D}}{\text{Q}} $$

PASO 3: Los costos de mantenimiento dependen del inventario promedio disponible. Suponemos que cuando se recibe un pedido, la cantidad total es Q, que se reduce a 0 cuando se recibe el siguiente pedido. Por lo tanto, el saldo de inventario promedio es igual a la cantidad pedida dividida por 2. Los costos de mantenimiento totales son iguales al producto del costo de mantenimiento por unidad C y el saldo de inventario promedio:

$$ \text{Transportar}\ \ \text{Costos}\ =\text{C}\times\frac{\text{Q}}{\text{2}} $$

PASO 4: Los costos totales de inventario se pueden escribir de la siguiente manera:

$$ \text{TC}\ =\text{O}\times\frac{\text{D}}{\text{Q}}+\ \text{C}\times\frac{\text{Q}} {\texto{2}} $$

Solo un poco de manipulación matemática:

$$ \text{TC}\ =\text{O}\times \text{D}\times \text{Q}^{-\text{1}}+\ \frac{\text{C}}{\ texto{2}}\times \text{Q} $$

PASO 5: El costo total se minimiza cuando la tasa de cambio del costo total con respecto al tamaño del pedido es 0. La tasa de cambio de la función anterior es igual a su pendiente, que a su vez es igual a su primera derivada.

Obtengamos la primera derivada de la función de costo total con respecto a Q:

$$ \frac{\text{d}(\text{TC})}{\text{d}(\text{Q})}\ =\text{OD}\times-\text{1}\ \ ^ {-\text{2}}+\frac{\text{C}}{\text{2}}\times\text{1} $$

PASO 4: Establecer la tasa de cambio igual a 0:

$$ \frac{\text{d}(\text{TC})}{\text{d}(\text{Q})}\ =\text{0} $$

$$ \text{0}\ =-\text{OD}\times \text{Q}^{-\text{2}}+\frac{\text{C}}{\text{2}} $$

Necesitamos aislar la expresión de la cantidad Q en el lado izquierdo:

$$ \text{OD}\times \text{Q}^{-\text{2}}=\frac{\text{C}}{\text{2}} $$

$$ \text{Q}^{-\text{2}}=\frac{\text{C}}{\text{2}\times \text{O}\times \text{D}} $$

Tomando el inverso de ambos lados de la ecuación anterior, obtenemos:

$$ \text{Q}^\text{2}=\frac{\text{2}\times \text{O}\times \text{D}}{\text{C}} $$

Sacar la raíz cuadrada de ambos lados nos da un valor de Q en el que la suma de los costos de mantenimiento y los costos de pedido se minimizan:

$$ \text{Q}=\sqrt{\frac{\text{2}\times \text{O}\times \text{D}}{\text{C}}} $$

¡Bingo! Tenemos la fórmula EOQ.

Ejemplo

ABC Ltd. se dedica a la venta de balones de fútbol. Su costo por pedido es de $400 y su costo de mantenimiento por unidad por año es de $10. La demanda anual del producto de la empresa es de 20.000 unidades.

Calcule la cantidad económica del pedido, es decir, el tamaño óptimo del pedido, el total de pedidos requeridos durante un año, el costo total de mantenimiento y el costo total del pedido para el año.

Solución

Con base en el modelo EOQ, la empresa debe establecer el tamaño de su pedido en 1265 unidades por pedido.

$$ \text{EOQ}\ =\sqrt{\frac{\text{2}\times\text{20,000}\times\text{\$400}}{\text{\$10}}}=\text{1,265 unidades} $$

La demanda anual es de 20 000 unidades, por lo que la empresa tendrá que realizar 16 pedidos (= demanda anual de 20 000 dividida por el tamaño del pedido de 1 265). Por lo tanto, el costo total del pedido es de $6400 ($400 multiplicado por 16).

El inventario promedio mantenido es de 632,5 (=(0+1265)/2), lo que significa que los costos anuales totales de mantenimiento serían de $6325 (es decir, 632,5 × $10).

Los costos anuales de pedido de $6400 y los costos anuales de manejo de $6325 se traducen en un costo total anual de administración de inventarios de $12 649.

La siguiente tabla muestra que un tamaño de pedido de 1265 unidades es realmente óptimo porque si cambiamos el tamaño de los pedidos, los costos totales aumentan.